Una curva simple de área positiva

Para completar, esbozaré aquí una construcción, aunque es bien conocida (p. ej., Countererexamples in Analysis de Bernard R. Gelbaum y John MH Olmsted).

Dejar$C\subset [0,1]$Sea un conjunto gordo de Cantor, es decir, un conjunto tipo Cantor de medida positiva. Tenga en cuenta que$C\times C$tiene área positiva.

Afirmar. Existe una curva simple$\gamma:[0,1]\to\mathbb R^2$cuya imagen contiene$C\times C$.

prueba _ El mapa$\gamma$se define punto por punto, siguiendo los pasos de la construcción de$C$. La primera generación es$C_1=[0,1]$. El conjunto$C_1\times C_1$es un cuadrado:

Todo lo que hacemos en este paso es decir que$\gamma(0)$será la esquina inferior izquierda del cuadrado, y$\gamma(1)$su esquina superior derecha. Aún no hemos decidido qué$\gamma$debe hacer en el medio.

Otra forma de pensar en esto: tenemos una "caja negra", en la que etiquetamos la esquina inferior izquierda como INy la esquina superior derecha como OUT.

La segunda generación es$C_2$, unión de dos intervalos. El conjunto$C_2\times C_2$Se ve como esto:

Ahora tenemos cuatro cajas negras más pequeñas aquí (bueno, se parecen más a cajas de orquídeas). En cada uno de ellos, etiqueta la esquina inferior izquierda como INy la esquina superior derecha como OUT. Luego conéctese OUTa IN, de alguna manera:

En términos de parametrización, dividimos$[0,1]$en$7$intervalos (por ejemplo, de igual longitud)$I_1,\dots,I_7$y asignar$\gamma$en ellos así:

• $I_2$se mapea en el segmento CE
• $I_4$está mapeado en GI
• $I_6$está mapeado en KM

Aún no hemos decidido qué$\gamma$hará dentro de$I_1,I_3,I_5,I_7$: estas piezas corresponden a cuatro cajas en la imagen. Pero sabemos que en cada uno de ellos$\gamma$entrará por la esquina inferior izquierda y saldrá por la esquina superior derecha. Por lo tanto, podemos repetir el paso anterior para cada una de estas cuatro casillas. Etcétera...

Como resultado,$\gamma$se define en un subconjunto denso de$[0,1]$. Uno tiene que comprobar que es uniformemente continuo (de hecho, la continuidad de Hölder se cumple), y por lo tanto se extiende a un mapa continuo de$[0,1]$. Queda por comprobar que$\gamma$es inyectable. Dejar$x,y\in [0,1]$ser puntos distintos. Si uno de ellos se mapea en un punto interior de uno de los arcos de conexión, entonces$\gamma(x)\ne \gamma(y)$es claro, porque$\gamma$nunca vuelve a acercarse a tales puntos. De lo contrario, ambos$x$y$y$están mapeados en$C\times C$. Dado que en algún paso de la construcción$x$y$y$se encuentran en diferentes subintervalos 7-ádicos, concluimos que$\gamma(x)$y$\gamma(y)$residen en diferentes componentes de$C\times C$.$\quad \Box$

Busque Osgood_curve en Wikipedia, https://en.wikipedia.org/wiki/Osgood_curve

En particular, copio la siguiente imagen y el texto de allí para que esta respuesta sea independiente. (Tenga en cuenta que la construcción tiene cierta similitud con la construcción de un "conjunto de Cantor gordo", https://en.wikipedia.org/wiki/Smith%E2%80%93Volterra%E2%80%93Cantor_set , pero ahora en lugar de abierto intervalos estamos eliminando cuñas abiertas)

Ejemplo de una curva de Osgood, construida mediante la eliminación recursiva de cuñas de triángulos. Los ángulos de cuña se reducen exponencialmente, al igual que la fracción de área eliminada en cada nivel, dejando un área distinta de cero en la curva final.