Álgebra sigma de Borel y mensurabilidad de funciones continuas

Parte 1: En el caso general, no se puede probar que$\mathcal{B}(X) \subseteq \mathcal{B}$.

Aquí hay un contraejemplo.

Dejar$X=\{a,b\}$,$\tau_X$sea ​​la topología discreta (es decir$\tau_X=\mathcal{P}(X)$) y luego$\mathcal{B}(X)=\mathcal{P}(X)$.

Dejar$Y=\{c\}$,$\tau_Y =\{\emptyset, Y\}$y entonces$\mathcal{B}(Y)= \{\emptyset, Y\}$.

Todas las funciones$f:X\rightarrow Y$son funciones continuas y constantes.

Dejar$\mathcal{B}=\{\emptyset, X\}$ser un$\sigma$-álgebra en$X$.

Todas las funciones (continuas)$f:X\rightarrow Y$son$\mathcal{B}/\mathcal{B}(Y)$medible, pero$\mathcal{B}\subsetneq \mathcal{B}(X)$.

Parte 2 Para el caso de$X=\mathbb{R}^m,Y=\mathbb{R}^n$, probemos el siguiente resultado más general.

Dejar ($X, d$) sea un espacio métrico,$\tau_X$la topología inducida por la métrica y sea$\mathcal{B}(X)=\sigma(\tau_X)$el álgebra sigma de Borel de$X$. Dejenos considerar$\mathbb{R}^n$con su topología habitual y su álgebra sigma de Borel habitual. Si$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{P}(X)$es un álgebra sigma tal que toda función continua$f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$es$\mathcal{B}/\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$medible, entonces$\mathcal{B}(X) \subseteq \mathcal{B}$.

Prueba : Probemos que para cualquier$F$conjunto cerrado de$X$,$F \in \mathcal{B}$. Seguirá inmediatamente que$\mathcal{B}(X) \subseteq \mathcal{B}$.

Dado cualquier$F$conjunto cerrado de$X$, define la función$f:X\rightarrow \mathbb{R}^n$tal que para todos$x \in X$,$f(x) = (d(x,F),0,\dots,0) \in \mathbb{R}^n$.

Es fácil ver eso$f$es continuo, entonces$f$es$\mathcal{B}/\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$mensurable. Desde$\{(0,\dots,0)\}$es un Borel ambientado en$\mathbb{R}^n$, tenemos eso