¿Por qué no ha habido una unificación de los axiomas de la topología y los axiomas de la teoría de la medida?

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Los axiomas de un espacio topológico y un espacio de medida al principio parecen muy similares. Se diferencian en los axiomas de cierre de uniones e intersecciones. El extraño parecido entre una métrica y una medida me hace preguntarme por qué estos axiomas se han definido por separado. ¿No podrían desarrollar una teoría con sólo el concepto de una medida y un espacio de medida?

El único problema que veo es que podría crear una lógica circular. Si necesitamos axiomas de espacio topológico para desarrollar conceptos en la teoría de la medida, esa es la razón por la que necesitamos separar los dos conceptos. El cierre de uniones arbitrarias frente a uniones contables e intersecciones finitas frente a intersecciones contables no es algo que me gustaría ver como la única diferencia entre los dos conceptos. ¿Por qué tener dos sistemas separados cuando son, al menos de entrada, conceptos muy similares?

Una medida asigna números a subconjuntos de X (por ejemplo, su volumen), mientras que una métrica asigna números a pares de puntos de X (su distancia). ¿Qué parecido ves aquí que sugiera una generalización?
Los conjuntos medibles son cerrados bajo complemento; los conjuntos abiertos no lo son. Los dos sujetos tienen preocupaciones muy diferentes. Más allá del nivel de "tonterías abstractas generales", no está claro que haya mucho que decir sobre la categoría de estructuras que tiene en mente que contiene espacios de medida y topológicos. Los miembros de esta categoría deben cerrarse bajo uniones contables e intersecciones finitas, y no necesariamente complementarse. ¿Hay dos teoremas no triviales, uno de la teoría de la medida y otro de la topología, que son solo variantes y tienen esencialmente la misma demostración? (Pregunta retórica.)
Las definiciones de topología y σ -El álgebra puede parecer similar, pero en la práctica son diferentes. La mayoría de las topologías que encuentra no son σ -álgebras y viceversa. Una colección de subconjuntos que es a la vez una topología y un σ -el álgebra es todo el conjunto de potencias tan pronto como es T 1 . Entonces, tal colección es un ejemplo trivial o bastante feo.
@Thorgott Tendré que meditar más profundamente en esta pregunta, pero la razón por la que hice esta pregunta es porque, al principio, una métrica parece ser una medida definida para un par de puntos. Entonces, ¿por qué no simplemente definir una métrica como una medida restringida a dos puntos? Del mismo modo, la métrica de volumen en dimensiones superiores es esencialmente una medida. Entonces, ¿por qué complicar las cosas definiendo otro conjunto de axiomas para una topología cuando tiene un conjunto de axiomas fino y elegante para una medida que podría encajar tan bien con todo lo que puede lograr una métrica?
@Christoph ¿No podríamos definir una métrica como una medida en pares de puntos? En una dimensión, ¿podría simplemente definir la métrica para que sea igual a la medida de Lebesgue en el intervalo cuyos puntos finales son los dos puntos cuya métrica de distancia se está definiendo? ¿Por qué necesitamos otra definición para un espacio topológico cuando tiene un candidato perfectamente adecuado (desde el principio) para definir una métrica a través de una medida?
En primer lugar, deja claro si quieres hablar de analogías entre σ -álgebras y topologías o entre medidas y métricas, porque esas son comparaciones diferentes. En espacios de medidas no discretas, la medida de un par de puntos siempre será cero, por lo que lo que estás sugiriendo realmente no funciona. Ahora, ofreces la alternativa de definir la distancia como la medida de la línea que los conecta y esto funciona, pero solo porque tenemos una noción de línea recta en espacios vectoriales. Esto no se generaliza a espacios de medidas arbitrarias en absoluto.
Por otro lado, en la geometría riemanniana, existe la noción de geodésicas (caminos más cortos) entre dos puntos en una variedad riemanniana y la longitud de una geodésica que conecta dos puntos (en términos generales) sirve como métrica en la variedad que induce la topología. comenzó, así que esto podría ser una generalización de su idea. Pero aún así, los espacios de medida son mucho, mucho, mucho más generales que las variedades de Riemann.
@Thorgott Debería haber sido más elocuente sobre lo que quería saber. Efectivamente, la medida en dos puntos aislados es cero y podría remediarse de la forma que sugieres. Sin embargo, el último punto que mencionas es crítico. ¿Dices que esto no se generaliza a espacios de medidas arbitrarias? ¿Qué significa eso exactamente? Dado cualquier espacio como R norte , una métrica siempre se puede definir como la medida de Lebesgue en la bola abierta que está considerando, ¿verdad?
Significa que no existe la noción de línea recta entre dos puntos en un espacio de medida arbitrario. La mayoría de los espacios no son como R^n. ¿Quiere definir una métrica como la medida de Lebesgue (que solo tiene sentido en R^n) de una bola abierta? ¿Qué bola abierta (hay muchas)? Realmente no sigo lo que estás tratando de hacer. La noción de bola abierta depende de una topología elegida para empezar.
@Thorgott, re , al menos según el uso en Wikipedia, probablemente quiera excluir medidas atómicas , no medidas discretas .
No está claro, pero tal vez la sugerencia pretendía decir que la medida de una bola de medida mínima que contiene X y y podría tomarse como una especie de proxy de la distancia entre X y y ? No está claro si está bien definido para espacios métricos medidos en general, e incluso para R norte no es literalmente una métrica excepto cuando norte = 1 , pero ¿es ese el tipo de cosas que quieres considerar?
@LSpice Correcto, gracias por la corrección.

Respuestas (1)

Topologías y σ -Las álgebras están diseñadas con diferentes objetivos en mente. σ -Las álgebras están diseñadas para jugar bien con las medidas, que son un tipo generalizado de mapa de medición de volumen. Las topologías están diseñadas para capturar una noción de "cercanía": cuando es un punto X cerca de un conjunto S ? Si cada barrio abierto de X se cruza S . ¿Cuándo una sucesión se acerca arbitrariamente a X ? Si cada barrio abierto de X contiene puntos en la secuencia. Cosas como esas. Así que no es sorprendente que al principio, las topologías y σ -Las álgebras son diferentes.

¡Pero! Si lo pensamos un poco más, podemos encontrar que, intuitivamente, las vecindades abiertas de un punto son aquellas que tienen cierto volumen. Como, si pongo una bola abierta alrededor X , puedo decir que tiene un volumen distinto de cero. Y σ -Las álgebras están diseñadas para permitir mediciones de volumen. Entonces, ¿no deberían todos los conjuntos abiertos convertirse de alguna manera en un σ -¿álgebra? Después de todo, podría resultar útil asignar un volumen a estos conjuntos. Y la respuesta es sí, eso tiene sentido. Nos gustaría mucho si pudiéramos asignar un volumen a los conjuntos abiertos. Por ejemplo, esto permitiría que las funciones continuas funcionen bien con el volumen, ya que las funciones continuas funcionan bien con conjuntos abiertos. Y por eso definimos el Borel σ -álgebra : dado un espacio topológico ( X , τ ) , definimos el Borel σ -álgebra en X como B ( X ) := σ ( τ ) , ese es el mas pequeño σ -álgebra que contiene todos los subconjuntos abiertos de X , por lo que todos los subconjuntos que deben tener volumen. Ahora ( X , B ( X ) ) es un espacio medible sobre el que podríamos definir una medida m asignar un volumen a cada conjunto abierto, si así lo quisiéramos. Este enfoque se toma a menudo para definir la medida de Lebesgue, por ejemplo. Tomamos cada conjunto abierto de R norte y asígnele el volumen que intuitivamente debería tener, y luego tomamos todos los otros conjuntos que podríamos obtener al unirlos e intersecarlos y asignarles un volumen que esté en línea con la definición de una medida. (Hay un enfoque "mejor" que usa medidas externas que produce conjuntos más medibles, pero este es más simple).

Pero el Borel σ -el álgebra es solo uno específico σ -álgebra que podríamos querer. Para otras aplicaciones, diferentes podrían funcionar mejor, especialmente si no nos importa la sensación de cercanía en el conjunto subyacente. Entonces no necesitamos una topología, así que ¿por qué restringir nuestra σ -álgebra con una topología?

Su explicación proporciona mucha información. La razón principal por la que hice la pregunta es saber por qué no podemos simplemente definir una métrica como una medida restringida a dos puntos definidos de la manera que es. De esa manera, tiene su definición de una métrica pero a través de la definición de una medida. Si bien la medida puede disfrutar de formas más generales, una métrica podría definirse simplemente como una medida restringida a dos puntos. ¿Por qué hacemos otro conjunto de axiomas para un espacio topológico? Después de todo, una métrica mide la distancia entre dos puntos y, por lo tanto, califica para ser una medida, ¿no?
Podríamos encontrar una manera de: 1. Definir una línea que conecta dos puntos, 2. Definir un análogo de la medida de Hausdorff 1d en este espacio, y 3. Definir la métrica como la medida de Hausdorff de la línea que conecta dos puntos. Pero tendríamos que asegurarnos de que esto sea realmente factible para todas las métricas posibles, y luego la construcción aún conlleva muchos gastos generales. Además, no todos los espacios topológicos son metrizables, por lo que este enfoque no funcionará para un espacio topológico general. A veces es más sencillo introducir más estructuras diferentes que obligar a una estructura determinada a adoptar un comportamiento adecuado.
Esto es exactamente lo que supuse. Quizás sea posible definir una métrica como una restricción de una medida en bolas abiertas, pero como mencionaste, esto puede no ser siempre posible para varios tipos de métricas y espacios topológicos. Efectivamente, necesito adquirir más conocimientos para apreciar estos hechos.
Creo que la oración "A veces es más simple introducir más estructuras diferentes que forzar una estructura dada a un comportamiento adecuado". llega tan sucintamente al corazón de la respuesta 'correcta' a esta pregunta que podría valer la pena hacerla parte de su respuesta. ('Correcto' entre comillas porque es mi juicio subjetivo, no por comillas de miedo).
@LSpice Supongo que tu breve comentario resume muy bien la respuesta :)
¿Por qué no ha habido una unificación de los axiomas de la topología y los axiomas de la teoría de la medida?
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