Si un conjunto es cerrado bajo uniones e intersecciones, ¿es cerrado bajo complementos?

Digamos$X$es una familia de subconjuntos de$\Omega$.

Un problema de tener uniones e intersecciones pero no complementos es que tal vez haya un elemento$x \in \Omega$que no se encuentra en ningún conjunto de$X$. Ninguna cantidad de uniones e intersecciones te conseguirá$x$, pero todo complemento contendrá$x$.

Incluso si$\bigcup X = \Omega$, tenemos problemas. Por ejemplo, deja$\Omega = \mathbb R$y deja$X$consisten en todos los intervalos de la forma$(-\infty, a)$y$(-\infty, a]$. Esto está cerrado bajo uniones e intersecciones, por lo que nunca obtendremos un intervalo que sea infinito en la otra dirección.

Una construcción similar funciona para subconjuntos del conjunto finito.$\{1,2, \dots, n\}$o el conjunto numerable infinito$\mathbb N$, también.

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La mayoría de las topologías son ejemplos de por qué las respuestas a sus preguntas adicionales son negativas. Si$X$es el conjunto de todos los conjuntos abiertos en$\mathbb R$(con respecto a la topología usual) entonces$X$está cerrado bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas, pero no bajo intersecciones infinitas. Por ejemplo,$\bigcap_{n=1}^\infty (-\frac1n, \frac1n) = \{0\}$, que no está abierto.

De manera similar, el conjunto de todos los conjuntos cerrados tendrá uniones finitas e intersecciones arbitrarias, pero no uniones infinitas.

Para cualquier$X$, elegir$Y\subsetneq X$, entonces$P(Y)$se cierra bajo intersección/unión arbitraria, pero no complemento. En la teoría de la medida, la diferencia de conjuntos$X\setminus Y$se usa más a menudo que el complemento. Elija una secuencia creciente de conjuntos$X_1\subsetneq X_2 \subsetneq X_3 \subsetneq \cdots$, entonces$\{X_1, \cdots, X_2, \cdots\}\cup \{\cup_i X_i\}$es cerrado bajo una unión e intersección arbitrarias, pero no un conjunto de diferencias.

Todos los conjuntos finitos de un conjunto infinito$X$está cerrado bajo uniones finitas, pero no uniones contables.

Todos los conjuntos cofinitos de un conjunto infinito$X$se cierra bajo intersecciones finitas, pero no numerables.