¿El espacio muestral (ΩΩ\Omega) y el σσ\sigma-álgebra (FF\mathcal{F}) de un espacio de probabilidad forman un espacio de topología?

Question

¿El espacio muestral (ΩΩ\Omega) y el σσ\sigma-álgebra (FF\mathcal{F}) de un espacio de probabilidad forman un espacio de topología?

Matemáticas
probabilidad
teoría de la medida
topología general

Antonio Parellada

[Me doy cuenta de que esta pregunta puede ser demasiado básica y es probable que contenga un malentendido fundamental, pero preguntas similares como esta en el sitio están más allá de mi nivel de matemáticas. Por lo tanto, asuma una comprensión muy limitada de la teoría de la medida. Si es posible, una respuesta en un lenguaje sencillo sería ideal.]

Un espacio de probabilidad se define como el triple ( $\Omega,\mathcal{F},P$ ).

El espacio muestral y el sigma-álgebra de eventos de un espacio de probabilidad -( $\Omega,\mathcal{F}$ )- parecería cumplir las condiciones de un espacio topológico , ( $X,\tau$ ):

Siempre hay un evento nulo ( $P(\{\emptyset\} = 0)$ ) y un evento determinado ( $P(\{\Omega\})=1$ ). Esto corresponde a la condición, "El conjunto vacío y $X$ en sí pertenece a $\tau$ " en un espacio de topología.
Cualquier unión de eventos pertenece a $\mathcal{F}$ (cerrado bajo uniones contables). La contraparte en espacios de topología: "Cualquier unión (finita o infinita) de miembros de $\tau$ todavía pertenece a $\tau$ ."
La intersección de cualquier número de eventos pertenece a $\mathcal{F}$ (cerrado bajo intersecciones contables). En espacios de topología: "La intersección de cualquier número finito de miembros de $\tau$ todavía pertenece a $\tau$ ."

¿Podemos decir entonces que el espacio muestral $\Omega$ y el $\sigma$ -álgebra, ( $\Omega, \mathcal{F}$ ), forman una topología en $\Omega$ ?

Creo que ( $\Omega, \mathcal{F}$ ) también cumple las condiciones de un espacio medible, por lo que puedo estar preguntando indirectamente la diferencia entre un espacio topológico y un espacio medible .

¿Es la coincidencia de criterios un accidente entre objetos matemáticos conceptualmente dispares: espacios de probabilidad (o medibles) versus espacios de topología?

¿Es solo una cuestión del componente geométrico de la topología?

Intuitivamente veo que al aplicar una función a estos espacios, en el caso de la topología podemos querer relacionar de alguna manera subconjuntos por proximidad; y puedo ver cómo al asignar una medida de probabilidad en [0,1] a diferentes eventos, el resultado será similar cuanto más relacionados (¿más cercanos?) estén estos eventos...

Notas post-mortem:

en un $\sigma$ -álgebra cualquier unión contable de elementos en $\mathcal{F}$ tiene que estar contenido en $\mathcal{F}$ . En cambio para un espacio topológico es cualquier unión arbitraria (finita o infinita) de los elementos de la topología $\tau$ tiene que estar contenido en $\tau$ . $\sim \text{Comment 1 below.}$
Por la ley de De Morgan y el cierre bajo complementos de espacios de probabilidad, $\mathcal{F}$ es similarmente cerrado bajo intersecciones contables . Por el contrario, en topología es la intersección de elementos finitos de $\tau$ que queda contenido en $\tau$ .

Hizo

"Cualquier unión de eventos pertenece a F" No, solo contables. Esta es la razón por la que no toda topología es un sigma-álgebra.

usuario228113

Un ejemplo de lo que sale mal: el sigma-álgebra de conjuntos de Borel (o incluso conjuntos medibles de Lebesgue) en

R

$\Bbb R$ contiene todos los singletons

{x}

$\{x\}$ ,

x \in R

$x\in\Bbb R$ . La única topología en

R

$\Bbb R$ (o cualquier conjunto) que contiene los singletons es el discreto.

Antonio Parellada

@Hizo bien, tenía la sensación de que no sería correcto... La ausencia de devoluciones de Google siempre es una señal siniestra... Su punto parece ofrecer una única característica diferenciadora, y sería genial si pudiera desarrollarlo en una respuesta para tontos...

Hizo

¿Desplegarse en qué? Siento que el comentario mío y el de @ G.Sassatelli juntos resumen bastante lo que hay que entender sobre el asunto (ya sea para "tontos" o no).

usuario228113

También,

99 %

$99\%$ de topologías de buen comportamiento no se cierran bajo complementación, mientras que esta es una característica crucial de sigma-álgebra. Para ser justos, tanto en geometría como en análisis nos gustan especialmente los espacios topológicos conectados , es decir, los espacios topológicos.

(X, τ)

$(X,\tau)$ donde el unico

A \subseteq X

$A\subseteq X$ tal que

A \in τ \land X ∖ A \in τ

$A\in\tau\wedge X\setminus A\in\tau$ son

X

$X$ y

\emptyset

$\emptyset$ .

Respuestas (1)

¿El espacio muestral (ΩΩ\Omega) y el σσ\sigma-álgebra (FF\mathcal{F}) de un espacio de probabilidad forman un espacio de topología?

"Cualquier unión de eventos pertenece a F" No, solo contables. Esta es la razón por la que no toda topología es un sigma-álgebra.
Un ejemplo de lo que sale mal: el sigma-álgebra de conjuntos de Borel (o incluso conjuntos medibles de Lebesgue) en $\Bbb R$ contiene todos los singletons $\{x\}$ , $x\in\Bbb R$ . La única topología en $\Bbb R$ (o cualquier conjunto) que contiene los singletons es el discreto.
@Hizo bien, tenía la sensación de que no sería correcto... La ausencia de devoluciones de Google siempre es una señal siniestra... Su punto parece ofrecer una única característica diferenciadora, y sería genial si pudiera desarrollarlo en una respuesta para tontos...
¿Desplegarse en qué? Siento que el comentario mío y el de @ G.Sassatelli juntos resumen bastante lo que hay que entender sobre el asunto (ya sea para "tontos" o no).
También, $99\%$ de topologías de buen comportamiento no se cierran bajo complementación, mientras que esta es una característica crucial de sigma-álgebra. Para ser justos, tanto en geometría como en análisis nos gustan especialmente los espacios topológicos conectados , es decir, los espacios topológicos. $(X,\tau)$ donde el unico $A\subseteq X$ tal que $A\in\tau\wedge X\setminus A\in\tau$ son $X$ y $\emptyset$ .

patricio da silva · Answer 1

No, las topologías y los espacios medibles no son las mismas nociones; algunas topologías en un conjunto no son espacios medibles y algunos espacios medibles en un conjunto no son topologías.

Una topología $T$ generalmente genera un espacio medible $M$ llamado el Borel $\sigma$ -álgebra , que es lo más pequeño $\sigma$ -álgebra que contiene todos los conjuntos abiertos, es decir, que contiene la topología. Tenemos $T=M$ si y solo si $T$ es un espacio medible, es decir, si y sólo si $T$ está cerrado bajo intersecciones contables; esto puede suceder, pero hay muchos contraejemplos (por ejemplo, variedades topológicas).

Un espacio medible $M$ es una topología si y solo si está cerrada bajo uniones arbitrarias , no solo contables. Por ejemplo, si tomamos un conjunto incontable $X$ y deja $Y \subseteq X$ satisfacer $Y \in M$ si y solo si $Y$ o $X \backslash Y$ es contable, esto define un $\sigma$ -álgebra $M$ en $X$ . No es una topología porque $X$ admite un subconjunto $Y$ que es incontable con complemento incontable y podemos escribir $Y = \bigcup_{y \in Y} \{y\}$ (una unión de subconjuntos en $M$ que no pertenece a $M$ ).

Espero que ayude,

Es genial, pero desearía que (si es posible) lo hubieras simplificado un poco, alejándote de las definiciones basadas en conjuntos.
@AntoniParellada Está haciendo una pregunta algo técnica sobre la distinción entre dos objetos matemáticos que se definen en términos de operaciones de conjuntos. Me temo que no hay ninguna "tontería", el paso n. ° 1 en matemáticas siempre es aprender el idioma :)
Por supuesto... A veces la gente pide un "ejemplo motivador" o una "intuición"...
@Antoni Parellada: Te aseguro que tu pregunta está basada en conjuntos. La cantidad de teoría de conjuntos que utilicé no es difícil, la mantuve al mínimo. Por ejemplo, el espacio medible que introduje es el más pequeño necesario para introducir la medida de contar ; es decir, aquel cuyo valor en un conjunto finito es el número de sus elementos. No dude en pedirme detalles, pero le aseguro que esta es la respuesta que desea; te da la distinción entre los axiomas de un espacio topológico y los de un espacio medible.

¿El espacio muestral (ΩΩ\Omega) y el σσ\sigma-álgebra (FF\mathcal{F}) de un espacio de probabilidad forman un espacio de topología?

Antonio Parellada

Hizo

usuario228113

Antonio Parellada

Hizo

usuario228113

Respuestas (1)

patricio da silva

Antonio Parellada

matemáticas1000

Antonio Parellada

patricio da silva

¿Teorema de Prokhorov en el espacio de Hausdorff localmente compacto?

Prueba alternativa del teorema de la convergencia dominada aplicando el lema de Fatou a 2g−|fn−f|2g−|fn−f|2g - |f_n - f|?

Demostrar que la intersección de σσ\sigma-algebras es σσ\sigma-algebra y el conjunto potencia es σσ\sigma-algebra

Integral de densidad de probabilidad sobre un conjunto de Borel

Medidas localmente finitas vs. Borel en espacios polacos σσ\sigma-compactos

Definiciones equivalentes de Borel σσ\sigma-algebra

La convergencia en probabilidad implica convergencia en cuantil de cuantil inverso.

Una caracterización de convergencia casi segura

¿Por qué no ha habido una unificación de los axiomas de la topología y los axiomas de la teoría de la medida?

Un conjunto en Borel σσ\sigma-algebra sobre [0,1][0,1][0,1] que no está en el álgebra generada por conjuntos abiertos