¿Cómo se relaciona el sigma-álgebra con la topología?

¡No te equivocas al pensar que las definiciones de "espacio topológico" y "espacio medible" son similares! Tampoco se equivoca al pensar que estas axiomatizaciones similares podrían conducir a estructuras de "aspecto similar", y la pregunta es "¿podemos hacer esto preciso?". La respuesta es, por supuesto, sí". Analizar las similitudes entre construcciones es una de las cosas en las que sobresale la teoría de categorías, y de hecho podemos aplicarla aquí. De una manera que vamos a precisar, la categoría de espacios topológicos (con mapas continuos)$\mathsf{Top}$y la categoría de espacios medibles (con mapas medibles)$\mathsf{Meas}$son muy similares

La noción clave es la de una categoría topológicamente concreta . esta es una categoria$\mathcal{T}$equipado con un funtor fiel$U : \mathcal{T} \to \mathsf{Set}$que tiene ciertas buenas propiedades inspiradas en las buenas propiedades del funtor "Conjunto subyacente"$U : \mathsf{Top} \to \mathsf{Set}$. Puede leer todo sobre ellos en el artículo vinculado, o en The Joy of Cats de Adamek, Herrlich y Strecker , pero aquí resumiré algunas propiedades importantes de las categorías topológicas:

1. Están completos y cocompletos. Además, podemos construir límites/colímites en$\mathcal{T}$mirando el límite/colímite de los conjuntos subyacentes y luego eligiendo "la topología correcta" (resp.$\sigma$-álgebra, etc.).

2. Es posible que múltiples espacios en$\mathcal{T}$tendrá el mismo conjunto subyacente. Terminamos con un entramado completo (posiblemente grande) de espacios sobre cualquier conjunto$X$. Es decir, dada cualquier familia de topologías (resp.$\sigma$-álgebras, etc) en$X$, hay una topología más grande única (resp.$\sigma$-álgebra, etc.) contenida en cada miembro de esa familia, y una única topología más pequeña (resp.$\sigma$-álgebra, etc) que contiene cada miembro de esa familia.

3. Como ejemplo particular de (2), todo conjunto$X$tiene una topología discreta e indiscreta (resp.$\sigma$-álgebra, etc.). Además, cada mapa de un espacio discreto es continuo (resp. medible, etc.) y cada mapa de un espacio indiscreto es continuo (resp. medible, etc.). Podemos expresar esto sucintamente diciendo que$U$tiene adjuntos izquierdo y derecho$\Delta \dashv U \dashv \nabla$(enviando un conjunto a su espacio discreto o indiscreto respectivamente).

4. Todo morfismo en$\mathcal{T}$factores como una sobreyección (epi) seguida de una inclusión subespacial (mono regular).

Hay mucho más que decir acerca de las buenas propiedades que disfrutan las categorías topológicamente concretas, pero basta con decir que este marco proporciona una forma sólida de comparar$\mathsf{Top}$con$\mathsf{Meas}$-- categóricamente son extremadamente similares!

Espero que esto ayude ^_^