Un conjunto en Borel σσ\sigma-algebra sobre [0,1][0,1][0,1] que no está en el álgebra generada por conjuntos abiertos

El álgebra de Borel en [ 0 , 1 ] es por definición un σ -álgebra, la más pequeña que contiene todos los subconjuntos abiertos de [ 0 , 1 ] . Me pregunto en qué se diferencia el álgebra de Borel del álgebra generada por los subconjuntos abiertos de [ 0 , 1 ] .

¿Cuál es un ejemplo de un conjunto en el álgebra de Borel que no puede obtener cerrando subconjuntos abiertos de [ 0 , 1 ] bajo complementos y uniones finitas ?

Agregado. ¿Funciona cualquier conjunto denso contable? Obviamente tenemos que elegir un conjunto de Borel que no sea ni abierto ni cerrado. El conjunto de racionales en [ 0 , 1 ] encaja a la perfección aquí, y mi intuición es que no se puede escribir utilizando un número finito de operaciones con conjuntos abiertos, pero no estoy muy seguro de cómo probarlo.

¿Cómo defines este álgebra? ¿Como el álgebra de Borel pero con uniones finitas?
@TSF Sí, eso es correcto.
@TSF Un álgebra de conjuntos en X es una familia mi ⊆ PAG ( X ) tal que: (1) ∅ ∈ mi ; (2) para todos A ∈ mi , X ∖ A ∈ mi ; (3) para todos A , B ∈ mi , A ∪ B ∈ mi .
@Gae.S. También llamada álgebra booleana (de conjuntos) en X.

Respuestas (1)

Reclamo: Para cualquier conjunto X obtenible el límite no es denso en ninguna parte .

Prueba: el límite del conjunto abierto no es denso en ninguna parte. Ahora, para las operaciones: 1) complemento: dado que el límite es el mismo para un conjunto y su complemento, esto es automático 2) unión: el límite de una unión es un subconjunto de la unión de los límites, por lo que es un subconjunto de una unión de dos conjuntos densos en ninguna parte, por lo que es un subconjunto de un conjunto denso en ninguna parte, y por lo tanto es denso en ninguna parte.

Así no podemos obtener los racionales, ya que su límite es todo [ 0 , 1 ] . Lo mismo es cierto para todos los conjuntos densos contables.

Es una muy buena observación, gracias.
Un conjunto en Borel σσ\sigma-algebra sobre [0,1][0,1][0,1] que no está en el álgebra generada por conjuntos abiertos
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v