Definiciones equivalentes de Borel σσ\sigma-algebra

Question

Definiciones equivalentes de Borel σσ\sigma-algebra

análisis
Matemáticas
teoría de la medida
topología general

daniel turizo

Estoy leyendo Introducción al análisis real de Christopher Heil y allí encontré la siguiente definición de Borel $\sigma$ -álgebra. Primera denotación $\mathcal{E}$ como una colección de subconjuntos de $X$ . Entonces el $\sigma$ -álgebra generada por $\mathcal{E}$ , $\Sigma(\mathcal{E})$ , es el más pequeño que contiene $\mathcal{E}$ . Eso es

Σ (mi) = \cap {Σ : Σ es un σ -álgebra en X y mi \subseteq Σ}

$\Sigma(\mathcal{E}) = \cap \left\{{\Sigma : \textrm{$\Sigma$ is a $\sigma$-algebra on $X$ and $\mathcal{E} \subseteq \Sigma$}}\right\}$ Ahora deja

U = {U \subseteq X : U is open}

$\mathcal{U} = \left\{{U \subseteq X : \textrm{$U$ is open}}\right\}$ sea la colección de todos los subconjuntos abiertos de

X

$X$ . Entonces el Borel

σ

$\sigma$ -álgebra en

X

$X$ es

Σ (U)

$\Sigma(\mathcal{U})$ . Además, los conjuntos de Borel son los miembros de

Σ (U)

$\Sigma(\mathcal{U})$ .

Por otro lado, la página de Wikipedia de conjuntos de Borel dice que los conjuntos de Borel son los que se pueden escribir como combinación contable de uniones, intersecciones y complementos de conjuntos abiertos, y que los conjuntos de Borel $\sigma$ -el álgebra es el $\sigma$ -álgebra que contiene los conjuntos de Borel.

Mi pregunta es la siguiente: ¿Cómo podemos concluir que la primera definición implica que cualquier miembro de $\Sigma(\mathcal{U})$ se puede escribir como combinación contable de uniones, intersecciones y complementos de conjuntos abiertos?

EDITAR: Según tengo entendido, podemos afirmar algo como esto. Defina las siguientes cuatro funciones que actúan sobre $\mathcal{P}(X) \times \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)$ :

\begin{aligned} s (A, B) & = A \cup B \\ d (A, B) & = A \cap B \\ C (A, B) & = X - A \\ i (A, B) & = A \end{aligned}

$\begin{align} s(A,B) &= A \cup B \\ d(A,B) &= A \cap B \\ c(A,B) &= X - A \\ i(A,B) &= A \end{align}$ Entonces para cualquier conjunto de Borel

B

$B$ existe una secuencia de conjuntos abiertos

{U_{k}}_{k \in N}, U_{k} \in U

$\left\{{U_k}\right\}_{k \in \mathbb{N}}, U_k \in \mathcal{U}$ y una secuencia de funciones

{f_{k}}_{k \in N}, f_{k} \in {s, d, c, i}

$\left\{{f_k}\right\}_{k \in \mathbb{N}}, f_k \in \left\{{s,d,c,i}\right\}$ tal que (si eso tiene sentido)

B = \dots F_{3} (F_{2} (F_{1} ({tu}_{1}, {tu}_{2}), {tu}_{3}), {tu}_{4}) \dots

$B = \cdots f_3(f_2(f_1(U_1,U_2),U_3),U_4) \cdots$ Mi pregunta es cómo la definición de intersección del Borel

σ

$\sigma$ -el álgebra implica la mencionada representación de los conjuntos de Borel.

matemáticas

tenga en cuenta que la página wiki dice que los conjuntos de Borel "se pueden formar a partir de conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, a partir de conjuntos cerrados) a través de las operaciones de unión contable, intersección contable y complemento relativo". Por lo tanto, se permiten combinaciones arbitrarias de estas operaciones.

Henno Brandsma

Puede necesitar una cantidad infinita de pasos de intersección y unión para llegar a un conjunto de Borel dado. La página de Wikipedia solo da algunos ejemplos de conjuntos que son Borel.

Henno Brandsma

También necesita operaciones contables que no se ajusten a ese marco, además de una unión contable de conjuntos de diferentes "niveles" para pasar etapas límite. Incluso esa descripción más liberal después de la edición no es suficiente. Lea sobre la jerarquía de Borel. Probablemente también tenga una página de Wikipedia. Hay todo tipo de subclases nombradas

Π_{α}^{0}

$\Pi^0_\alpha$ y

Σ_{α}^{0}

$\Sigma^0_\alpha$ para números ordinales menores que

ω_{1}

$\omega_1$ .

Henno Brandsma

La definición externa vis

σ (U)

$\sigma(U)$ a menudo es más fácil trabajar con él que con el interno, construyéndose a partir de conjuntos abiertos y secuencias de operaciones con recursividad transfinita. Sin embargo, producen los mismos conjuntos al final. La topología prefiere la interna y la teoría de la medida externa, en resumen.

daniel turizo

¿Cómo puedes afirmar que ambas construcciones dan el mismo conjunto? esa es básicamente mi pregunta.

Henno Brandsma

¿Has leído la sección en la página de Wikipedia sobre cómo generar los conjuntos de Borel? Tiene una breve descripción. La unión resultante a nivel

ω_{1}

$\omega_1$ es un

σ

$\sigma$ -álgebra (necesita algo de teoría de conjuntos) y todos los conjuntos son Borel por inducción transfinita. Le sigue la minimalidad.

daniel turizo

Tengo problemas para obtener la otra dirección: ¿cómo la definición de intersección implica que cualquier miembro del conjunto se puede representar de esta manera?

Respuestas (2)

Definiciones equivalentes de Borel σσ\sigma-algebra

tenga en cuenta que la página wiki dice que los conjuntos de Borel "se pueden formar a partir de conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, a partir de conjuntos cerrados) a través de las operaciones de unión contable, intersección contable y complemento relativo". Por lo tanto, se permiten combinaciones arbitrarias de estas operaciones.
Puede necesitar una cantidad infinita de pasos de intersección y unión para llegar a un conjunto de Borel dado. La página de Wikipedia solo da algunos ejemplos de conjuntos que son Borel.
También necesita operaciones contables que no se ajusten a ese marco, además de una unión contable de conjuntos de diferentes "niveles" para pasar etapas límite. Incluso esa descripción más liberal después de la edición no es suficiente. Lea sobre la jerarquía de Borel. Probablemente también tenga una página de Wikipedia. Hay todo tipo de subclases nombradas $\Pi^0_\alpha$ y $\Sigma^0_\alpha$ para números ordinales menores que $\omega_1$ .
La definición externa vis $\sigma(U)$ a menudo es más fácil trabajar con él que con el interno, construyéndose a partir de conjuntos abiertos y secuencias de operaciones con recursividad transfinita. Sin embargo, producen los mismos conjuntos al final. La topología prefiere la interna y la teoría de la medida externa, en resumen.
¿Cómo puedes afirmar que ambas construcciones dan el mismo conjunto? esa es básicamente mi pregunta.
¿Has leído la sección en la página de Wikipedia sobre cómo generar los conjuntos de Borel? Tiene una breve descripción. La unión resultante a nivel $\omega_1$ es un $\sigma$ -álgebra (necesita algo de teoría de conjuntos) y todos los conjuntos son Borel por inducción transfinita. Le sigue la minimalidad.
Tengo problemas para obtener la otra dirección: ¿cómo la definición de intersección implica que cualquier miembro del conjunto se puede representar de esta manera?

Henno Brandsma · Answer 1

Henno Brandsma

No, hay muchos más juegos de Borel que esos. Los conjuntos de Borel contienen (por definición) todas las intersecciones contables de conjuntos abiertos, todos los complementos de conjuntos abiertos (es decir, todos los conjuntos cerrados), por lo que también todas las uniones contables de conjuntos cerrados. Estos son solo los primeros pasos en la jerarquía de Borel que ha $\omega_1$ niveles para espacios métricos completos separables como $\Bbb R$ . No es una lista exhaustiva de los conjuntos de Borel y cómo se pueden construir a partir de conjuntos abiertos.

Dave L Renfro

Tengo que preguntarme sobre el fundamento de los tratamientos abstractos modernos para hablar básicamente solo de conjuntos abiertos/cerrados, conjuntos de Borel y conjuntos medibles, omitiendo así todos los diversos resultados en el análisis que dicen que tal y tal conjunto es

F_{σ}

$F_{\sigma}$ o

G_{δ σ},

$G_{\delta \sigma},$ etc. (solo dos niveles de Borel son suficientes para prácticamente todo lo que aparece) que son más precisos y tienden a evitar este tipo de confusión en cuanto a lo que son los conjuntos de Borel. ¡Es como si estuviéramos haciendo combinatoria y las respuestas fueran ninguna, una o muchas!

Henno Brandsma

@DaveL.Renfro hay algunos resultados recientes sobre absoluto

F_{σ δ}

$F_{\sigma \delta}$ se pone en

C_{p} (X)

$C_p(X)$ espacios, etc., pero cada vez es más raro tener tales resultados. Era principalmente una cosa de principios del siglo XX preocuparse por las clases exactas de cosas de Borel. Se vuelve bastante técnico con bastante rapidez.

daniel turizo

¿Puedes revisar mi edición por favor?

Guardar marca · Answer 2

Considerar $W = \{S \in \Sigma(U) : S$ se puede formar a partir de uniones contables/intersecciones/complementos de conjuntos abiertos $\}$ . Inmediatamente se puede comprobar que desde $\Sigma(U)$ es un $\sigma$ -álgebra, también lo es $W$ . y claramente $W$ contiene todos los conjuntos abiertos. Entonces $\Sigma(U) \subseteq W$ .

no me queda tan claro porque $W$ es un $\sigma$ -álgebra, ¿le importaría elaborar un poco más, por favor?
Si $S$ se puede formar a partir de uniones contables/intersecciones/complementos de conjuntos abiertos, al igual que su complemento. Si $S_1, S_2, ...,$ se pueden formar a partir de uniones contables, intersecciones, complementos de conjuntos abiertos, entonces también se puede formar su unión contable. Finalmente, el conjunto vacío es abierto.

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