Me gustaría mencionar que en An Epsilon of Room , observación 1.1.3, Tao afirma:

La noción de espacio medible (X, S) (y de función medible) es superficialmente similar a la de espacio topológico (X, F) (y de función continua); la topología F contiene ∅ y X tal como lo hace la σ-álgebra S, pero ahora está cerrada bajo uniones arbitrarias e intersecciones finitas, en lugar de uniones contables, intersecciones contables y complementos. Las dos categorías están vinculadas entre sí por la construcción del álgebra de Borel.

Más tarde, en el ejemplo 1.1.5:

dada cualquier colección F de conjuntos en X, podemos definir la σ-álgebra B [ F ] generada por F , definida como la intersección de todas las σ-álgebras que contienen F , o de manera equivalente, el álgebra más gruesa para la cual todos los conjuntos en F son medibles . (Esta intersección no es vacía, ya que siempre involucrará la σ-álgebra discreta 2^X). En particular, los conjuntos abiertos F de un espacio topológico (X, F) generan una σ-álgebra, conocida como σ-álgebra de Borel de ese espacio.

Su pregunta es un poco vaga, pero aquí hay algo a considerar: la topología normalmente se discute como su propio tema mientras$\sigma$-Las álgebras generalmente se usan solo como una herramienta en la teoría de la medida. Una de las razones por las que se necesitan intersecciones finitas en una topología es que preserva lo que consideramos "apertura" en un espacio métrico. Por ejemplo, la intersección finita de cualquier intervalo de la forma$(a,b) \subseteq \mathbb{R}$todavía tiene la propiedad de contener una bola alrededor de cada punto. Esta propiedad no se comparte con$\sigma$-álgebras. Por ejemplo, podemos considerar la intersección contable

que no preserva esta propiedad de "apertura" que nos gustaría que preservara una topología. Podemos ver que cada vecindario alrededor de cualquiera de los puntos$a$o$b$contienen elementos fuera del intervalo$[a,b]$.

Una manera fácil de tener una idea de esto es considerar ejemplos básicos.

Por ejemplo, deja$X=\{1, 2, 3\}$.

Un espacio topológico$(X, 𝓸)$podría ser construido eligiendo por ejemplo$𝓸=\{∅,\{1, 2\},\{2\},\{2,3\},X\}$.

Pero esto está tan lejos de ser un$σ$-álgebra como se puede obtener ya que de hecho no hay complemento de ningún conjunto en$𝓸$está en 𝓸 excepto por$X$y$∅$.

Eche un vistazo a algunos ejemplos de topologías, algunos ejemplos de$σ$-álgebras y trata de compararlas. Comience fácil (como este) y avance a algunos más difíciles y desarrollará una intuición después de la mano.

la geometría de$\sigma$-el álgebra es en general mal entendido. Las pruebas que involucran topologías a menudo funcionan directamente en la topología, demostrando que los conjuntos están abiertos directamente. La prueba de Arzela-Ascoli, por ejemplo, trabaja en dos topologías y prueba la convergencia directamente. Una gran cantidad de pruebas comienzan con pick$U$un barrio de$x$. Trabajando con$\sigma$-álgebras es algo más complicado. A menudo, el enfoque consiste en construir una secuencia de aproximaciones a la deseada$\sigma$-álgebra. Incluso la definición del álgebra de Borel generada por algunos conjuntos$\mathfrak{B}$es muy abstracto o se construye a través de aproximaciones. IE la intersección de todos$\sigma$-álgebras que contienen$\mathfrak{B}$, o inducción transfinita sobre etapas de aproximaciones al álgebra completa de Borel.

Solo quería agregar un comentario notable sobre esto mientras leía un gran libro sobre teoría de la probabilidad de Achim Klenke en la página 8.

Diferencias entre topologías y sigma-álgebra

A diferencia de las σ-álgebras, las topologías se cierran solo bajo intersecciones finitas, es decir, por qué la respuesta de la pregunta anterior se aplica como un caso concreto. Además, las topologías también se cierran bajo uniones arbitrarias, mientras que las σ-álgebras no necesitan cerrarse bajo uniones arbitrarias, solo bajo uniones contables.

espero que esto aclare el asunto