Medidas localmente finitas vs. Borel en espacios polacos σσ\sigma-compactos

Dejar mi ser un espacio polaco, y dejar m ser una medida en mi . Defina las siguientes propiedades:

  • mi es σ - compacto si mi es la unión contable de conjuntos compactos.
  • mi es localmente compacto si cada X ∈ mi tiene un barrio abierto tu cuyo cierre es compacto.
  • m es localmente finito si para cada X ∈ mi , hay un conjunto abierto tu ⊂ mi que contiene X con m ( tu ) < ∞ .
  • m es una medida de Borel si para cada compacto k ⊂ mi , tenemos m ( k ) < ∞ .

Claramente, una medida localmente finita es Borel. Y si mi es localmente compacto (ni siquiera necesariamente separable o completo), las medidas de Borel son necesariamente localmente finitas. Pero, ¿existen condiciones más generales para las que las medidas de Borel sean localmente finitas?

pregunta: si mi es un σ -espacio polaco compacto y m es una medida de Borel, es m localmente finito?

No puedo pensar en un contraejemplo para esto, pero tengo problemas para probarlo. Mi estrategia original era probar que un σ -El espacio polaco compacto es localmente compacto. Sin embargo, como demuestran los comentarios, σ -Los espacios polacos compactos no son necesariamente compactos localmente, por lo que la estrategia no funciona. Un contraejemplo es el subconjunto X ⊂ ℓ 2 dada por la unión de las rectas X k = { λ mi k : λ ∈ R } , dónde { mi k } k ≥ 1 es la base ortonormal estándar de ℓ 2 . Entonces X es σ -compacto, pero no localmente compacto (específicamente en el origen).

Pero no estoy seguro de una medida m sobre este espacio que es Borel, pero no localmente finito; el problema es que hay subconjuntos compactos de X que contiene 0 y cruzando infinitamente muchos de los X k . ¿Alguien puede pensar en un contraejemplo?

El espacio en el enlace es un subconjunto cerrado de R 2 , por lo tanto debe ser localmente compacto. Sin embargo, no estoy seguro en este momento de lo que es un separable completamente metrizable σ -Debe ser un espacio compacto y no localmente compacto. Tenía una idea, pero parece que ahora mismo no puedo hacerla funcionar.
por Baire un σ -polaco compacto X está en algún lugar localmente compacto. Así que tu idea es válida para espacios homogéneos.
En ℓ 2 dejar mi k , k ∈ norte sea ​​la base ortonormal estándar. Entonces X = { λ mi k ∣ k ∈ norte , λ ∈ R } en la topología del subespacio es σ -compacto, polaco pero no localmente compacto.
@HennoBrandsma no lo es X simplemente ℓ 2 en tu ejemplo?
No, eso incluiría combinaciones lineales (sumas) de los mi k también. Esto es solo una colección de líneas a través del origen.
Oh, por supuesto, tonto de mí. Bien, en particular, el origen no tiene un vecindario compacto. Alquiler m Sea la medida de Lebesgue en cada línea, m es Borel... pero me parece m sigue siendo localmente finito en el origen...
Por otro lado, si L k := { λ mi k : λ ≠ 0 } ⊂ ℓ 2 y m = ∑ k = 1 ∞ d L k , entonces m es Borel, pero no localmente finito en el origen! ¿Eso parece funcionar?
d L k se define como?
La medida de Dirac en esos conjuntos: d A ( B ) = 1 si y si A ∩ B ≠ ∅ y d A ( B ) = 0 de lo contrario
tal vez la parte 4 (medidas topológicas) del gran libro de Fremlin tiene más ideas para ejemplos.

Respuestas (1)

Creo que, de hecho, la idea del hilo común funciona:

Dejar mi norte , norte ∈ norte sea ​​la base ortonormal estándar del espacio de Hilbert ℓ 2 . Dejar X = { λ mi norte ∣ norte ∈ norte , λ ∈ R } . Entonces X es σ -polaco compacto pero no localmente compacto (en 0 ).

Dejar L k = { λ mi k : λ ≠ 0 } y d A ser la medida de Dirac con portador A : d A ( B ) = 1 si y si A ∩ B ≠ ∅ y 0 en caso contrario, podemos definir m = k = 1 ∞ d L k , que es una medida de Borel (no σ -finito, y no localmente finito en 0 ), pero (creo) finito en compacta.

No he comprobado todos los detalles esenciales. Otros pueden sentirse inclinados a agregar a esto.

En realidad, no estoy seguro de que esto sea finito para compacto. k ⊂ X . Dejar k k = { λ mi k : 0 ≤ λ ≤ k − 1 } ⊂ L ¯ norte . Claramente cada uno k k ⊂ X es compacto Dejar k = ⋃ k = 1 ∞ k k . Entonces sí ( X norte ) ⊂ k es cualquier secuencia, claramente tiene una subsecuencia finita si la secuencia se encuentra en un número finito de L k ; y si la sucesión se encuentra en infinitas L k , entonces X norte converge a 0 . Entonces k es secuencialmente compacto, y por lo tanto compacto, aunque m ( k ) = ∞ .
(O al menos, en el ejemplo anterior, X norte tiene una subsecuencia que converge a 0 si X norte se encuentra en infinitamente muchos L k .)
@DFord Entonces, ¿tal vez otra suma de medidas de Dirac podría funcionar? ¿Ser finito en compacta es necesario para una medida de Borel en su definición?
He estado jugando con un par de sumas de medidas de Dirac y, por lo general, me encuentro con problemas similares. Seguiré pensando en ello. (O tal vez la respuesta a la pregunta original es sí, después de todo). Pero sí, según la definición en la que confío, las medidas de Borel deben ser finitas en conjuntos compactos (al menos esa es la propiedad que me importa); Quiero saber si eso es equivalente a la finitud local.
Medidas localmente finitas vs. Borel en espacios polacos σσ\sigma-compactos
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