Si para matrices invertibles AAA y XXX, XAX−1=A2XAX−1=A2XAX^{-1}=A^2 entonces los valores propios de AAA son nthnthn^{th} raíces de la unidad.

Dado que matrices similares tienen los mismos valores propios, para cualquier valor propio$b$de$A$, los números$b^2, b^4, b^8, ...$son también valores propios de$A$(ya que por iteración,$A$es similar a todos esos poderes de sí mismo y$b^k$es un valor propio de$A^k$).

También,$b$es distinto de cero desde$A$es invertible

Pero solo hay un número finito de valores propios de$A$, por lo que la secuencia de potencias de$b$debe tener repeticiones en él, es decir$b^j = b^k$para algunos$j<k$y eso da como resultado$b$es una raíz de unidad (ya que no es$0$).

Dado que cada valor propio es una raíz de la unidad, simplemente tome el mínimo común múltiplo de los exponentes para obtener un valor de$n$eso funciona.

(lo siento, no sé formatear bien, así que he escrito principalmente en prosa en inglés)

Dejar$\lambda$ser un valor propio de$A$, entonces$\lambda^2$es un valor propio de$A^2$. del hecho de que$A$y$A^2$son similares podemos concluir$\lambda^2$es también un valor propio de$A$.

Del mismo modo, todos$\lambda^{2^n}$son valores propios de$A$. Debido a la finitud de los valores propios de$A$podemos ver que existen$p>q$tal que$\lambda^{2^p}=\lambda^{2^q}\implies\lambda^{2^p-2^q}=1$, entonces$\lambda$es una raíz de unidad. Llevar$n$ser el multiplicador común de todos$2^p-2^q$correspondiente a tal$\lambda$y hemos terminado.