Límite inferior del valor propio mínimo de B(A+B)−1AB(A+B)−1AB(A+B)^{-1}A

Question

Límite inferior del valor propio mínimo de B(A+B)−1AB(A+B)−1AB(A+B)^{-1}A

matrices
Matemáticas
álgebra lineal
límites superior-inferior
valores propios-vectores propios

Chuan Hao Li

Matriz $A$ y $B$ son semidefinidos positivos simétricos. Deseo reducir el límite inferior del valor propio mínimo del producto de matriz:

B (A + B)^{- 1} A

$B(A+B)^{-1}A$

El primer límite inferior que se me ocurrió es:

λ_{min} (B (A + B)^{- 1} A) \geq \frac{λ_{min} (A) \cdot λ_{min} (B)}{λ_{máximo} (A + B)} \geq \frac{λ_{min} (A) \cdot λ_{min} (B)}{λ_{máximo} (A) + λ_{máximo} (B)}

$\lambda_{\min} \left( B (A+B)^{-1} A \right) \geq \frac{\lambda_{\min}(A) \cdot \lambda_{\min}(B)}{\lambda_{\max}(A+B)}\geq\frac{\lambda_{\min}(A) \cdot \lambda_{\min}(B)}{\lambda_{\max}(A)+\lambda_{\max}(B)}$

De acuerdo con este límite inferior, si hacemos una actualización de rango uno en $A$ y $B$ de una manera que $\lambda_{\min}(A)$ y $\lambda_{min}(B)$ sigue siendo el mismo, pero $\lambda_{\max}(A)$ y $\lambda_{\max}(B)$ (al actualizar A y B usando vectores propios correspondientes a sus valores propios máximos), entonces el límite inferior disminuirá.

Sin embargo, los resultados de mi simulación muestran que el valor propio mínimo de este producto de matriz en realidad siempre aumenta a medida que actualizo el rango uno $A$ y $B$ .

Entonces mi pregunta es, ¿hay algún límite inferior más estricto del valor propio mínimo de este producto?

usuario91684

asumes que

A + B > 0

$A+B>0$ . Demuestra que yo)

B (A + B)^{- 1} A

$B(A+B)^{-1}A$ es simétrica, ii) los valores propios de

B (A + B)^{- 1} A

$B(A+B)^{-1}A$ son

\geq 0

$\geq 0$ y iii) tu primera desigualdad.

usuario91684

Además, si

A

$A$ o

B

$B$ no es

> 0

$>0$ , entonces el valor propio mínimo es

0

$0$ . ¿Realmente has pensado en este problema?

Chuan Hao Li

@loupblanc ¡Gracias por tu comentario! ¿A qué te refieres con los tres pasos?

usuario91684

Hasta ahora no has mostrado nada. Así que sería bueno si pudieras probar la

3

$3$ puntos anteriores.

Respuestas (1)

Límite inferior del valor propio mínimo de B(A+B)−1AB(A+B)−1AB(A+B)^{-1}A

asumes que $A+B>0$ . Demuestra que yo) $B(A+B)^{-1}A$ es simétrica, ii) los valores propios de $B(A+B)^{-1}A$ son $\geq 0$ y iii) tu primera desigualdad.
Además, si $A$ o $B$ no es $>0$ , entonces el valor propio mínimo es $0$ . ¿Realmente has pensado en este problema?
@loupblanc ¡Gracias por tu comentario! ¿A qué te refieres con los tres pasos?
Hasta ahora no has mostrado nada. Así que sería bueno si pudieras probar la $3$ puntos anteriores.

Chuan Hao Li · Answer 1

Asumir ambos $A$ y $B$ son invertibles.

Para reducir el límite inferior del valor propio mínimo, necesitamos el siguiente resultado.

B (A + B)^{- 1} A = (A^{- 1} + B^{- 1})^{- 1}

$B(A+B)^{-1}A=(A^{-1}+B^{-1})^{-1}$ Entonces conduce directamente a:

λ_{min} (B (A + B)^{- 1} A) = \frac{1}{λ_{metro a X} (A^{- 1} + B^{- 1})} \geq \frac{1}{λ_{metro a X} (A^{- 1}) + λ_{metro a X} (B^{- 1})} = \frac{1}{\frac{1}{λ_{metro i norte} (A)} + \frac{1}{λ_{metro i norte} (B)}}

$\lambda_{\min} \left( B (A+B)^{-1} A \right) = \frac{1}{\lambda_{max}(A^{-1}+B^{-1})}\geq \frac{1}{\lambda_{max}(A^{-1})+\lambda_{max}(B^{-1})}=\frac{1}{\frac{1}{\lambda_{min}(A)}+\frac{1}{\lambda_{min}(B)}}$

Para mostrar que $B(A+B)^{-1}A=(A^{-1}+B^{-1})^{-1}$ , partimos de:

A^{- 1} (A + B) B^{- 1} = A^{- 1} A B^{- 1} + A^{- 1} B B^{- 1} = B^{- 1} + A^{- 1}

$A^{-1}(A+B)B^{-1}=A^{-1}AB^{-1}+A^{-1}BB^{-1}=B^{-1}+A^{-1}$ Luego tomando el inverso de ambos lados da el resultado.

Límite inferior del valor propio mínimo de B(A+B)−1AB(A+B)−1AB(A+B)^{-1}A

Chuan Hao Li

usuario91684

usuario91684

Chuan Hao Li

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Chuan Hao Li

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