Una cierta teoría superconformista N=2N=2\cal{N}=2 (¿o no?)

No sé si esto es un ejercicio, pero hay un famoso mapa de Nicolai para este sistema, que es el siguiente: escribe el campo complejo$\phi = \phi_1 + i\phi_2$que es la parte escalar del campo quiral en términos de los componentes real e imaginario. Luego considere la ecuación estocástica (espacio euclidiano):

$$\partial_\bar{z} \phi + W(\phi) = \eta$$

Dónde$\eta$es ruido blanco complejo, lo que significa una variable aleatoria que es aleatoria de un punto a otro, y W es una función compleja de los valores de campo. En términos de partes reales e imaginarias, llamando a los dos espacios coordenadas x,y:

$$\partial_x \phi_1 + \partial_y \phi_2 + W_1(\phi_1,\phi_2)= \eta_1$$ $$\partial_y \phi_1 - \partial_x \phi_2 + W_2(\phi_1,\phi_2)=\eta_2$$

La probabilidad de$\eta$tener un valor dado es el producto de una gaussiana en cada punto del espacio, esto es lo que significa tener una ecuación estocástica:

$$P(\eta) = e^{-\int {1\over 2} (\eta_1^2 + \eta_2^2)}$$

De esta forma, haces una integral de trayectoria no ponderada sobre$\eta$para encontrar la probabilidad de una configuración. Esto significa generar$\eta$de acuerdo con esta distribución trivial (puedes hacer una red y generar la$\eta$s como gaussianas independientes en cada punto). Luego use las ecuaciones no lineales anteriores para encontrar el campo$\phi$, y esto te da una configuración de la ecuación estocástica.

Entonces las funciones de correlación del escalar están dadas por la integral de trayectoria

$$\langle \phi_i(x)\phi_(x') \rangle = \int \phi_i(x)\phi_j(x') P(\eta) D\eta$$

Siempre que P se normalice correctamente, lo que significa que se divide por la integral de trayectoria sin inserciones.

La magia del mapa de Nicolai (o la supersimetría de Parisi Sourlas de cualquier ecuación estocástica) es cuando cambias las variables para hacer la integral de trayectoria sobre$\phi$. Tu sustituyes por$\eta$en términos de$\phi$, y necesita un determinante para cambiar de la$\eta$variable (donde la medida de la integral de trayectoria es uniforme) a la$\phi$variables (donde en la convención normal de Stratonovich para productos en el camino entero, no lo es).

Usted obtiene

$$S= -{1\over 2} \int (\partial_x \phi_1 + \partial_y \phi_2 +W_1 )^2 + (\partial_y\phi_1 - \partial_x\phi_2+ W_2)^2$$

y la integral de trayectoria

$$\int e^{-S} \mathrm{det}(\partial_x +\partial_1 W_1, \partial_y + \partial_2 W_1 ; \partial_y + \partial_2 W_2,-\partial_x + \partial_2 W_2)$$

Donde el punto y coma separa las líneas de una matriz (no sé cómo escribir eso). La acción fermiónica le dará a la parte fermiónica 2d de la acción SUSY completa en 2d.

Primero tenga en cuenta que la acción bosónica reproduce la acción de campo libre deseada en las partes derivadas

$$S_f = -{1\over 2} \int |\nabla\phi_1|^2 + |\nabla\phi_2|^2$$

En las partes que interactúan, obtienes

$$S_i = -{1\over 2} \int W_1^2 + W_2^2$$

Cuál va a ser la interacción superpotencial para el campo bosónico al final del día. Pero también obtiene términos cruzados que destruyen la invariancia rotacional en general.

$$S_c = - \int \partial_x \phi_1 W_1 + \partial_y\phi_2 W_1 +\partial_y\phi_1 W_1 - \partial_y\phi_2 W_2$$

Estos términos cruzados tienen que cancelarse para obtener un sistema rotacionalmente invariante. De esto, aprendes que (W_1 + iW_2) tiene que ser una función holomorfa de$\phi_1 + i\phi_2$, que es una demostración completamente diferente de la holomorfia del superpotencial, no pasando por superespacio o diagramas, sino que requiere invariancia rotacional de la forma estocástica de la teoría euclidiana.

La forma más rápida de ver que se requiere holomorfía (puede averiguarlo usted mismo probando ejemplos) es escribir los términos cruzados en forma holomorfa: son la parte real de la expansión en componentes de

$$\partial_{z}\phi W(\phi) = \partial_z V$$

Donde V es la antiderivada de la función holomorfa W. V también es holomorfa, y diferenciándola con respecto a$\bar\phi$da cero. Los términos cruzados ahora son derivadas perfectas (pero necesita una regla de la cadena que respete la interpretación de los productos que no conmutan, esta es la que automáticamente da el determinante tal como está escrito).

El determinante ahora suma la acción fermiónica

$$S_f = \bar\psi (\sigma\cdot\partial + V'') \psi$$

Para fermiones de dos componentes con la elección de matrices gamma 2d Euclidean i-free$\sigma_x, \sigma_z$(que son reales, anticonmutables entre sí y cuadrados a 1). La acción libre se puede reescribir en términos de motores a la izquierda y motores a la derecha para ver que hay dos de cada uno, y la acción resultante es

$$S = \int |\nabla\phi|^2 + |V'(\phi)|^2 + \bar{\psi}(\sigma\cdot\nabla + V'')\psi$$

Y esta es su acción euclidiana Wess-Zumino dimensionalmente reducida, usando$V(\phi) = {\phi^{k+3}\over (k+2)(k+3)}$(V es solo la antiderivada de W, que es solo el superpotencial polinomial que le dieron). El (2,2) SUSY (dos fermiones que se mueven a la izquierda y dos que se mueven a la derecha, cada SUSic con el escalar) es automático, porque es el SUSY de Parisi Sourlas de cualquier sistema estocástico.

El mapa de Nicolai le brinda inmediatamente un montón de cosas: normalmente le brinda la función de onda del estado fundamental exacto para los campos bosónicos, ya que esta es la distribución estadística de la ecuación estocástica asociada, que es la exponencial de V (y algunas partes derivadas). Desafortunadamente, en este caso, hay graves problemas de infrarrojos con la distribución debido a las partes derivadas, por lo que nunca pude escribir analíticamente la función de onda del estado fundamental de una manera que la hiciera sensata.

El mapa de Nicolai le brinda automáticamente una forma de simular la teoría en una red --- simplemente genere$\eta's$y hacer las transformaciones no lineales. Esto se ha convertido en una industria en la última década, con una de las principales figuras Simon Catterall en Syracuse. Los sistemas SUSY son notoriamente difíciles de simular manteniendo el SUSY exacto. Los pocos sistemas de mapas de Nicolai (este y SUSY QM) son las únicas excepciones, donde simular el sistema SUSY es más fácil que el sistema que no es SUSY. Afortunadamente, esto incluye la teoría de matrices, y quizás incluya N=4 SYM (Catterall también quiere hacer esta teoría), aunque ahí no sé cómo hacerlo (pero siempre tengo la molesta sensación de que se puede hacer por muchos más sistemas, solo nos falta una idea simple y crucial: Catterall lo hace sin mencionar el mapa explícito de Nicolai (aunque este fue su punto de partida), pero con un subconjunto de celosía SUSY que es una forma técnicamente más molesta de decir algo similar. cosa,

Esto tiene muy poca relación con las preguntas que planteas directamente, pero tú lo pediste. Necesitas los generadores SUSY, a partir de esto encuentras el tensor de energía de estrés, y a partir de esto encuentras los campos primarios, y así sucesivamente. Todo esto se puede hacer directamente sin saber nada sobre estas cosas, pero estas cosas hacen que SUSY en el modelo sea completamente intuitivo.