Referencia para el N=3N=3{\cal N}=3 Chern-Simons Lagrangian en general NcNcN_c, NfNfN_f

Bueno, me agradecieron amablemente en la misma página 31, por lo que debería ser justo que intente ofrecer una respuesta, por imperfecta que sea:

Construcción del Lagrangiano

Siento que el Lagrangiano en componentes está claramente descrito en el apéndice A, especialmente en la ecuación (A.4), pero el hecho de que la estructura de los términos parezca laboriosa no es una ilusión; es un cálculo bastante complicado. Su teoría es una teoría de Chern-Simons, por lo que tiene el campo de calibre con el término Lagrangiano habitual de Chern-Simons que debe incluirse en el Lagrangiano total. Todo lo demás son términos para los campos de materia extra.

Hay$N_f$"generaciones" de campos de materia. Los campos de materia incluyen escalares.$q$y fermiones$\psi$: estas son partes de un supermultiplete bajo el${\mathcal N}=2$subálgebra de la supersimetría que equivale a cuatro supercargas reales, muy parecida a la mínima${\mathcal N}=1$en cuatro dimensiones.

Las supercargas en 3D se transforman como espinores reales de 2 componentes, sin quiralidad aquí, por lo que si tiene${\mathcal N}=n$SUSY en 3D, la simetría R es inevitablemente$SO(n)$a nivel de álgebra de Lie. Para${\mathcal N}=3$, por lo tanto obtenemos$SO(3)$R-simetría que se escribe mejor como$SU(2)$. Así que todos los campos de materia añadida en realidad tienen que llevar$a,b=1,2$índices de este$SU(2)$R-simetría; las supercargas construidas principalmente como objetos bilineales de estos campos, por lo tanto, se transforman como un triplete de este$SU(2)=SO(3)$, como lo requiere nuestro SUSY triplemente extendido.

Los campos de materia fermiónica también llevan un índice de espinor.$\alpha=1,2$por razones obvias: los fermiones son espinores del espacio-tiempo.

El índice restante transportado por escalares$q$así como fermiones$\psi$es el índice capitalizado$A,B=1,\dots 2N_f$etiquetar la representación fundamental de$USp(2N_f)=U(N_f,{\mathbb H})$. Esta es la simetría global que obtienes de$N_f$sabores aquí. A priori, podrías pensar que obtienes solo$SU(N_f)$como la simetría global del sabor. Sin embargo, eso sería una subestimación; la simetría de sabor total se extiende a la simpléctica. ¿Por qué?

Esto se responde más o menos con la ecuación (A.1) y tal vez en otros lugares. Los componentes de los campos de materia son complejos, pero aún se puede imponer una condición de realidad. Sin embargo, la condición de realidad implica la conjugación por la$\epsilon_{ab}$símbolo de la$SU(2)$R-simetría; que se necesita para la conjugación compleja de dobletes para preservar$SU(2)$. Debido a este épsilon, se puede agregar otro objeto antisimétrico, el$\omega_{AB}$invariantes del grupo simpléctico, e imponen una condición de realidad (A.1) sobre los campos de materia (con un épsilon espinorial extra para los fermiones, necesario para preservar la simetría de Lorentz en 3D).

Uno no podría reemplazar$\omega$por$\delta$porque la representación bidimensional de$SU(2)$no es real; pero es pseudoreal y el producto tensorial de una representación pseudoreal de$SU(2)$y la representación pseudoreal de$USp(2N_f)$nos da una representación real (ese es un hecho básico en la teoría de la representación: la$j=-1$mapa de estructura que existe para cada representación pseudoreal se multiplica para producir un$j=+1$mapa de estructura en el producto tensorial, demostrando que es real: realmente no sé si quieres que se expliquen cosas similares también o si las conoces), uno que puede estar limitado por una condición de realidad. El épsilon adicional para los índices de Lorentz del espacio-tiempo no cambia nada sobre las condiciones de la realidad porque esa representación de espinor bidimensional de$Spin(2,1)$es real.

El resto del Lagrangiano (A.4) se obtiene simplemente como la reescritura de las partes Lagrangianas del superespacio como (2.3) y (2.5) así como el término superpotencial (2.9), un caso especial de (2.10), a la lenguaje de componentes. Los objetos como$s$(uno bilineal) son dispositivos de contabilidad para simplificar la estructura del Lagrangiano interactivo que incluye cosas como las interacciones de sexto orden (si se escriben en términos de componentes), por lo que estos términos de interacción pueden reescribirse como cúbicos en$s$, al menos algunos de ellos. Algunas de esas construcciones, y con suerte todas las que tienen una alta probabilidad de no explicarse por sí mismas, se explican en el documento y si algo no está lo suficientemente detallado, debe especificar cuál es el punto de la confusión porque de lo contrario. Realmente estoy pidiendo a los usuarios de Stack Exchange que escriban una "versión más detallada (es decir, probablemente más larga) de un documento de 47 páginas", lo que puede ser demasiado pedir.

No debería sorprender que Weinberg o Wess y Bagger no discutan este caso particular de supersimetría 3D con estos campos de materia en particular. Los artículos sobre las teorías 3D superconformes de Chern-Simons con la materia son descubrimientos de los últimos 5 años, partes de la minirrevolución de la membrana, que eran desconocidas hace décadas cuando Wess y Bagger y Weinberg escribieron sus libros de texto sobre supersimetría. Sin embargo, está claro que un usuario del artículo de Xi y Davide, y otros, tiene que saber cosas como la simetría simpléctica. tu falta de ortografía$USp$como$US_p$ofrece una pista de que realmente no conoces al grupo y uno no puede estudiar cosas avanzadas como la teoría 3D de Chern-Simons acoplada a la materia sin un buen conocimiento de piezas matemáticas tan básicas como la simetría simpléctica.

invariancia conforme

En tales contextos, la invariancia conforme de la teoría cuántica puede probarse probando la invariancia conforme clásica; y la desaparición de las correcciones cuánticas que podrían romper la invariancia de la escala. Muy generalmente, es suficiente probar la invariancia de la escala (la teoría es un punto fijo) y eso es suficiente para que la teoría tenga también la simetría conforme completa. Si una teoría tiene invariancia de escala y supersimetría, es suficiente para probar la invariancia superconforme porque los generadores superconformes extrafermiónicos se pueden obtener como conmutadores de generadores conformes y generadores SUSY.

Existen excepciones (teorías de escala invariable que no son conformes), pero estas excepciones no pueden ocurrir en la mayoría de los contextos físicos como este. Realmente he olvidado lo que requieren las excepciones.

La teoría 3D pura ordinaria de Chern-Simons es topológica: los observables solo dependen de la topología del espacio-tiempo (o volumen mundial), por lo que, por supuesto, también es exactamente conforme. Cuando uno agrega materia, la teoría deja de ser topológica pero con algunas buenas elecciones, puede permanecer conforme. En el artículo de Xi y Davide, la simetría conforme de la teoría complicada se demuestra alrededor de la página 8. Lo demuestran de dos maneras. En el${\mathcal N}=2$lenguaje, están sumando un superpotencial con coeficiente$\alpha$. Para verificar la invariancia de escala o su falla, es suficiente calcular el funcionamiento de RG de este nuevo parámetro$\alpha$, es decir, la función beta, y viene dada por la ecuación (2.11).

Muy generalmente, es suficiente para verificar que la teoría es renormalizable y el funcionamiento RG de todos los acoplamientos adimensionales renormalizables se desvanece. Para las elecciones correctas de los acoplamientos, esto se hizo en su artículo. La única corrección de los bucles cuánticos a los parámetros en estas teorías es un cambio fijo al nivel de Chern-Simons.$k$.