Acerca del álgebra superconformal dimensional 2+1

Me gustaría obtener ayuda para interpretar la ecuación principal del álgebra superconformal (en$2+1$dimensiones) como se indica en la ecuación 3.27 en la página 18 de este documento . Estoy familiarizado con el álgebra de supersimetría, pero aún así esta notación me parece muy oscura.

• En la ecuación anterior para un fijo$i$,$j$,$\alpha$,$\tilde{\beta}$el último término,$-i\delta_{\alpha , \tilde{\beta}} I_{ij}$será un$\cal{N} \times \cal{N}$matriz para$\cal{N}$supersimetría extendida en$2+1$dimensiones. ¿Es correcta esta interpretación?

(.. donde supongo$I_{ij}$es la representación vectorial de$so(\cal{N})$dado como,$(I_{ij})_{ab} = - i(\delta _{ia}\delta _{jb} - \delta _{ib} \delta _{ja})$..)

• Ahora bien, si lo anterior es así, ¿hay un implícito$\cal{N} \times \cal{N}$matriz identidad multiplicada por el primer término,$i \frac{\delta_{ij}}{2} [(M'_ {\mu \nu}\Gamma_\mu \Gamma_\nu C)_{\alpha \tilde{\beta}} + 2D' \delta _ {\alpha \tilde{\beta}}]$?

Así que supongo que la ecuación debe leerse como una igualdad entre 2$\cal{N} \times \cal{N}$matrices. ¿bien?

• ¿Hay un error tipográfico en esta ecuación que el primer término debería tener?$(M'_ {\mu \nu}\Gamma^\mu \Gamma ^ \nu C)$en lugar de todos los índices de espacio-tiempo$\mu, \nu$¿estar deprimido?

• supongo que en$M' _{\mu \nu}$los índices$\mu$y$\nu$rango sobre$0,1,2...,d-1$para$d-$espacio-tiempo dimensional (...aquí$d=3$..) y para este rango en el QFT euclidiano (como es el caso aquí) uno puede reemplazar$M'_{\mu \nu} = \frac {i}{4}[\Gamma _ \mu , \Gamma _ \nu]$. ¿Está bien?

• Uno está usando la convención aquí donde la firma es$\eta_{\mu \nu} = diag(-1,1,1) = \eta ^{\mu \nu}$y las matrices Gamma son tales que$\Gamma^0 = C = [[0,1],[-1,0]], \Gamma ^1 = [[0,1],[1,0]], \Gamma ^ 2 = [[1,0],[0,-1]]$y luego la matriz de conjugación de carga$C$satisface$C^{-1} \Gamma ^\mu C = - \Gamma ^{\mu T}$y$[\Gamma ^\mu , \Gamma ^\nu]_+ = 2 \eta ^\mu \eta ^\nu$

Entonces$M^{\mu \nu}\Gamma _\mu \Gamma _ \nu = -3i [[1,0],[0,1]]$

Ahora, para un caso específico de esta ecuación, déjame referirme al final de la página.$8$y parte superior de la página$9$de este papel .

• En la literatura de física, ¿cuál es la ecuación/convención implícita que define la representación de$SO(N)$con pesos mas altos$(h_1, h_2, ... , h_{[\frac{N}{2}]})$?

No pude encontrar una ecuación en ninguna parte que defina el$h_i$s

• ¿Cómo elegir los pesos de los$Q$operador sea como se indica en la parte inferior de la página 8 determine los valores de$i$y$\alpha$que va en el lado derecho de la ecuación anticonmutación descrita en la primera mitad?

¿Y cómo determina lo mismo para el$S$operador que debido a la euclidianización se relaciona como ,$S^{'}_{i \alpha} = (Q^{'i \alpha})^\dagger$(...Supongo que subir y bajar los índices no importa aquí...)

• Ahora, dada la elección como se indica en la parte inferior de la página 8 en el documento anterior y la relación de hermiticidad SQ y la relación de anticonmutación en la primera mitad de esta pregunta, ¿cómo se prueba la relación reivindicada en la parte superior de la página 9 que es efectivamente ,$[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$

Supongo$\epsilon_0$es el cargo bajo el$D'$de la primera mitad definida para un operador$A$(saya s$[D',A] = -\epsilon _0 A$aunque no puedo ver la definición precisa de$h_i$arena$j$en términos del RHS de la relación de anticonmutación QS como se describe en la primera mitad de la pregunta.

• Hace algo sobre lo anterior$[Q^{'i\alpha},S^{'}_{i\alpha}]_+ = \epsilon_0 - (h_1 + j)$depende de cual sea el valor de$\cal{N}$? Supongo que podría ser$2$como en este documento o$3$y seguiría siendo la misma expresión.

Sería genial si alguien puede ayudar con esto.