Acerca de la unitaridad y la carga R en la teoría de campos superconformes 2+1

¿Por qué la dimensión de la escala es mayor que 1/2?

La razón es la representación espectral (Kallen-Lehman). Dejar

$$G(s-s') = \langle0|\phi^\dagger(s)\phi(s')|0\rangle$$

Para cualquier campo$\phi$, y expanda la transformada de Fourier de G en estados de energía:

$$G(k) = \int ds {\rho(s)\over k^2-s + i\epsilon}$$

En otras palabras, G es una superposición de propagadores de masa cuadrada s con coeficiente$\rho(s)$. entonces$\rho(s)>0$, porque es una norma definida positiva del estado que es la transformada de Fourier del campo$\phi$actuando sobre el vacío.

Si$\rho(s)$es una función delta en cero, el campo tiene un propagador de campo libre sin masa de (Euclidiana) 1/r, y esta caída es como el cuadrado de la dimensión del campo, por lo que el campo tiene dimensión 1/2, la libre canónica dimensión del campo. Si desea otra dimensión para el campo, debe sumar propagadores de campo libre con coeficientes positivos. Para obtener una distribución sin escala, como se requiere en una teoría conforme, debe usar una superposición de ley de potencia:$\rho(s) = s^{-\alpha}$, y por razones físicas$\alpha>0$, de lo contrario el$\rho$está creciendo a lo grande k. Una densidad creciente de estados en k grande significa que la teoría tiene un número infinito de especies diferentes en distancias cortas.

Entonces la caída en k es (por análisis dimensional)${1\over k^{2- 2\alpha}}$, lo que significa que la caída en x es (nuevamente por análisis dimensional)${1\over x^{1+2\alpha}}$, lo que significa que la dimensión de la escala es${1\over 2}+\alpha$.

Puedes entender esto intuitivamente sabiendo que los propagadores libres caen como$1\over k^2$y cualquier caída más rápida requiere cancelaciones, que están prohibidas en una teoría cuántica de campos por positividad.

¿Por qué la dimensión de escala 1/2 implica libre?

la razón es que en una teoría conforme, no hay escala para$\rho$, por lo que no puede tener otra forma que no sea una ley de potencia. Entonces, si la dimensión de la escala es exactamente 1/2,$\rho$solo puede ser una función delta en 0, y el operador tiene un propagador sin masa libre. Si estuviera interactuando, tendría elementos de matriz distintos de cero con estados de n partículas que darían un positivo$\rho$en algún lugar lejos de cero.

¿Cuándo están permitidas las transiciones de fase?

Creo que el criterio usado aquí para permitir transiciones de fase es que puedes deformar la teoría con un operador de dimensiones menores o iguales a 3 que hace que los campos obtengan un VEV. Esto también rompe la invariancia conforme.

Creo que los operadores que se están considerando aquí son$tr(\bar{\phi}^2) + tr(\phi^2)$y$|tr(\phi^2)|^2$. Los generadores de dilatación son cuadrados de los generadores de supersimetría, por lo que sus propiedades de transformación de escala se determinan a partir de la carga R para pasar de 2 a 1/2 y de 4 a 1. Entonces, en algún punto, la$|tr(\phi^2)|$el término pasa por la dimensión 3 y en acoplamientos más grandes que este, puede deformar de manera estable la acción para obtener una transición de fase al agregar los dos términos y dar la traza de$\phi^2$un VEV.

No estoy seguro de esto, porque no estoy seguro de si la transición de fase está fuera del punto conforme. Más contexto, como decir qué teoría tiene en mente, sería útil.