Una acción de grupo contiene otra acción como un subgrupo normal

Tengo una pregunta sobre qué significa que una acción de grupo contenga otra acción de grupo como un subgrupo normal. Supongo que esto significa que la imagen de la primera acción grupal contiene la imagen de la segunda como un subgrupo normal, pero quiero volver a verificar.

El contexto donde vi esta frase es el siguiente. dado un grupo$G$, las acciones regulares derecha e izquierda de$G$en sí mismo están definidos por los mapas$\rho: (x,g) \mapsto xg$y$\lambda:(x,g) \mapsto g^{-1}x$, respectivamente. Entonces, la acción de$G^* = G \times G$en$G$, que es el producto de las acciones regulares izquierda y derecha, se define por$\mu(x,(g,h))=g^{-1}xh$. El texto que estoy leyendo dice

"Esta acción transitiva contiene las acciones regulares izquierda y derecha como subgrupos normales".

Mi pregunta es sobre qué significa que una acción contenga otra como un subgrupo normal. Dado que una acción sobre$G$corresponde a un homomorfismo en$Sym(G)$, la imagen de este homomorfismo (es decir, la representación de permutación proporcionada por esta acción) podría ser lo que se quería decir. De hecho, en este caso, verifiqué que la imagen de la acción regular correcta$\rho$(y también de$\lambda$) es un subgrupo normal de la imagen de la acción del producto$\mu$(las tres de estas imágenes son subgrupos de$Sym(G)$). Entonces, supongo que lo que significa que una acción es un subgrupo normal de otra es que su imagen es un subgrupo normal de la otra imagen. ¿Es eso correcto?

No siempre podemos reducir o pensar en una acción solo en términos de su imagen, ya que perdemos información si la acción no es fiel. Por ejemplo, dos acciones no necesitan ser isomorfas incluso si sus imágenes lo son. De hecho, la definición de acciones isomorfas es en términos de la acción y no solo en términos de las imágenes de las acciones.