Estabilizadores en un grupo de permutación

Primero notamos que$G\leq A_5$, el grupo alterno de grado cinco. Hagamos uso de esta publicación . Desde$(123)$y$(245)$no arreglar un elemento común de$\{1,2,3,4,5\}$y$(123)\neq (245)^{-1}$, tenemos eso$\langle (123),(245)\rangle=A_5$. Por lo tanto$G=A_5$.

Recuerda eso$A_5$está hecho del elemento de identidad, 3-ciclos, 5-ciclos y productos de dos 2-ciclos. Haciendo un poco de combinatoria, obtenemos que$\text{Stab}_{A_5}(3)$consta del elemento identidad, ocho ciclos de 3 y tres productos de dos ciclos de 2. Esta es exactamente la misma estructura de elementos de$A_4$.

Concluimos que$\text{Stab}_{A_5}(3)\cong A_4$.

La solución anterior era incorrecta porque usé GAP incorrectamente. Aquí hay una secuencia correcta de comandos GAP. En general, GAP es muy bueno para tratar con pequeños grupos finitos (e incluso para algunos grupos infinitos):

gap> G:=GrupoSimétrico(5);

Símbolo( [ 1 .. 5 ] )

gap> H:=Subgrupo(G,[(1,2,4), (2,4,5),(1,2,3)]);

Grupo ([ (1,2,4), (2,4,5), (1,2,3) ])

brecha> Elementos (H);

[ (), (3,4,5), (3,5,4), (2,3)(4,5), (2,3,4), (2,3,5), (2, 4,3), (2,4,5), (2,4)(3,5), (2,5,3), (2,5,4), (2,5)(3,4) , (1,2)(4,5), (1,2)(3,4), (1,2)(3,5), (1,2,3), (1,2,3,4 ,5), (1,2,3,5,4), (1,2,4,5,3), (1,2,4), (1,2,4,3,5), (1 ,2,5,4,3), (1,2,5), (1,2,5,3,4), (1,3,2), (1,3,4,5,2), (1,3,5,4,2), (1,3)(4,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,3)(2,4), (1,3,2,4,5), (1,3,5,2,4), (1,3)(2,5), (1,3,2,5,4), (1, 3,4,2,5), (1,4,5,3,2), (1,4,2), (1,4,3,5,2), (1,4,3), ( 1,4,5), (1,4)(3,5), (1,4,5,2,3), (1,4)(2,3), (1,4,2,3, 5), (1,4,2,5,3), (1,4,3,2,5), (1,4)(2,5), (1,5,4,3,2), (1,5,2), (1,5,3,4,2), (1,5,3), (1,5,4), (1,5)(3,4), (1, 5,4,2,3), (1,5)(2,3), (1,5,2,3,4), (1,5,2,4,3), (1,5,3 ,2,4), (1,5)(2,4) ]

espacio> Número (Elementos (H));

$60$

Entonces$H$es igual a$A_5$.

El estabilizador de$3$en$H$es entonces el subgrupo$A_4$actuando$\{1,2,4,5\}$. Tiene$12$elementos ($4!/2$).

Compruebe que el subgrupo generado por$(1,2,4), (2,4,5)$tiene$12$elementos:

gap> P:=Subgrupo(G,[(1,2,4), (2,4,5)]);

Grupo ([ (1,2,4), (2,4,5) ])

espacio> Número (Elementos (P));

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