Un triángulo tiene un vértice en el centro de un círculo y dos vértices en el círculo. ¿Pueden las tres regiones encerradas tener áreas racionales?
Dejar radio de circulo, ángulo en el vértice del triángulo en el centro del círculo.
Suponga que las tres regiones tienen áreas racionales. El área del círculo es racional, entonces es un múltiplo racional de . Entonces (dado que el área del triángulo es racional) es un múltiplo racional de , y (dado que el área del segmento es racional) es un múltiplo racional de .
Así que creo que la pregunta es equivalente a:
Poder y ambos son múltiplos racionales de ? ( )
Pensé en el teorema de Niven , pero no parece ayudar.
(Sospecho que la respuesta es no.)
Creo que puedo responder a mi propia pregunta. El seno de cualquier múltiplo racional de es algebraica, como se muestra aquí , por lo que no puede ser un múltiplo racional de , entonces la respuesta a mi pregunta es no.
(Pensé esta pregunta de vez en cuando durante unos días antes de publicarla aquí. Luego, por alguna razón, casi inmediatamente después de publicar la pregunta aquí, sin recibir ninguna respuesta, encontré la respuesta).