El área promedio de la sombra de un cuadrado.

Esta pregunta surge de mi intento de resolver el problema del área promedio de un cubo de una manera no convencional. Como la sombra del cubo está compuesta por las sombras de 3 de sus caras cuadradas, estoy tratando de calcular el área promedio de cada una de las sombras de esos cuadrados, multiplicarla por tres y llegar a la respuesta de$\frac{3s^2}{2}$. Eso significa que el área promedio de la sombra de un cuadrado debe ser$\frac{s^2}{2}$, lo cual tiene sentido intuitivo, pero quiero demostrarlo matemáticamente, lo cual me resulta difícil. Aquí está mi trabajo hasta ahora:

Considere un cuadrado$\mathrm{S}$con longitudes de lado$s$que se eleva tanto en el$\mathrm{x}$y$\mathrm{y}$direcciones por$\theta_1$y$\theta_2$grados respetuosamente. Entonces, por estos$\theta$valores, el área del cuadrado se convierte en$s^2\mathrm{cos}\theta_1\mathrm{cos}\theta_2$, como se puede determinar por trigonometría (un triángulo rectángulo con una hipotenusa de$s$, ángulo$\theta$, y lado$x$adyacente al ángulo da$x=s\mathrm{cos}\theta$). El valor medio de$\mathrm{cos}\theta$en el intervalo$[0, \pi/2]$es$\frac{\sqrt{2}}{2}$(apareciendo en$\frac{\pi}{4}$).

Aquí está la parte que no entiendo completamente:

Dejar$\mathrm{A(S_{(\theta_a, \theta_b)})}$ser una función de un cuadrado$\mathrm{S}$que ha sido levantado por$\theta_a$y$\theta_b$sobre el$\mathrm{x}$-eje y$\mathrm{y}$-eje respectivamente. Para encontrar el área promedio de este cuadrado, podemos hacer lo siguiente:

$$\frac{\iint_R \mathrm{A(S_{(\theta_a, \theta_b)})}dA}{R_{area}}, \{R\in\mathbb{R}^2 \vert R = [0,\frac{\pi}{2}] \times [\frac{\pi}{2}]\} \\ = \frac{s^2\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{cos}\theta_1\mathrm{cos}\theta_2d\theta_1d\theta_2}{\frac{\pi^2}{4}} \\ = \frac{4s^2}{\pi^2}$$ Esto no produce el resultado que estoy buscando, así que me pregunto dónde me equivoqué en mi deducción lógica. ¿Puedo simplemente tomar el valor medio de$\mathrm{cos}x$encima$[0,\frac{\pi}{2}]$? Si es así, eso elimina la necesidad de la integral, pero parece simple y no explica por qué los dos se contradicen. Gracias de antemano.