Probando la bisectriz usando trigonometría

ABC es un triángulo isósceles con AB = AC. El punto X es un punto arbitrario del lado BC. Los puntos Y, Z están en los lados AB, AC, respectivamente, tal que ∠BXY = ∠ZXC. Una recta paralela a YZ y que pasa por B corta a XZ en T.

Demuestra que AT biseca a ∠A.

Estoy tratando de encontrar una solución a esto usando trigonometría, pero parece que no puedo encontrar una buena solución.

Mi intento hasta ahora:

Dejé que I sea la intersección de AT y BC, luego traté de usar la ley del seno en ABT, ABI y ABI. Esto me dio una relación sobre las longitudes de AB, BT y BI. No pude relacionar la longitud de BI en una ecuación con la longitud de CI, aparte de usar los ángulos BAT y TAC. Pero entonces no creo que eso lleve a nada, ya que esos ángulos son los que queremos encontrar de todos modos.

¿Qué has probado?
@MathLover Vamos a ser la intersección de AT y BC, luego traté de usar la ley del seno en ABT, ABI y ABI. Esto me dio una relación sobre las longitudes de AB, BT y BI. No pude relacionar la longitud de BI en una ecuación con la longitud de CI, aparte de usar los ángulos BAT y TAC. Pero entonces no creo que eso lleve a nada, ya que esos ángulos son los que queremos encontrar de todos modos.
OK, vi tu edición. Vea mi solución aplicando la ley del seno en tres triángulos. Avíseme si tiene alguna pregunta, comentario, reacción.

Respuestas (2)

ingrese la descripción de la imagen aquí

Primero aplique la ley del seno en △ B Y X .

(1) B Y pecado ⁡ β = B X pecado ⁡ ( α + β )

Aplicar la ley del seno en △ B T X ,

(2) B T pecado ⁡ β = B X pecado ⁡ ( β − γ )

De ( 1 ) y ( 2 ) ,

(3) B Y B T = pecado ⁡ ( β − γ ) pecado ⁡ ( α + β )

Ahora aplicando la ley del seno en △ T Z S ,

(4) Z S pecado ⁡ ( β − γ ) = T S pecado ⁡ ( α + β )

De ( 3 ) y ( 4 ) ,

B Y Z S = B T T S

Pero también sabemos que B Y Z S = A B A S

así que en △ B A S , A B A S = B T T S

y así se sigue que A T es la bisectriz del ángulo de ∠ A .

Los signos en la solución corresponden al caso. B X < C X , de lo contrario, es necesario cambiar algunos signos.

Dejar ∠ Z X C = β , ∠ T B X = γ . Entonces ∠ X Y Z = γ + β , ∠ X Z Y = β − γ .

Teorema del seno: pecado ⁡ ( γ + β ) pecado ⁡ ( β − γ ) = X Z X Y .

similitud de △ B X Y y △ C X Z : X Z X Y = X C X B . Por lo tanto

X C X B = pecado ⁡ ( γ + β ) pecado ⁡ ( β − γ ) = 1 + cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ 1 − cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ

Dejar I ser la base de la perpendicular de T a B C . Entonces

T I = X I broncearse ⁡ β = B I broncearse ⁡ γ ⇒ X I = B I cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ

X B = B I − X I , X C = C I + X I , por lo tanto

X C X B = C I + X I B I − X I = C I + B I cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ B I − B I cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ = C I / B I + cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ 1 − cuna ⁡ β broncearse ⁡ γ

Usando la fórmula anterior para X C / X B uno puede conseguir C I / B I = 1 . Por lo tanto, I es la mitad de BC. Por lo tanto, T está en la bisectriz perpendicular de BC, que es bisectriz de ∠ A .

Probando la bisectriz usando trigonometría
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v