Simular la rotación simultánea de un objeto sobre un origen fijo con recursos limitados.

Lo siento, Luke, no creo que tu solución funcione. Debe tener una solución rigurosa que se base en las matemáticas de las rotaciones. Esto se hace más fácilmente usando cuaterniones, o mejor aún, sus análogos del álgebra de Clifford llamados rotores .

Explicaré brevemente los rotores de álgebra de Clifford y cómo se pueden usar para convertir rotaciones secuenciales en una rotación neta.

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Álgebra de Clifford

El álgebra de Clifford introduce un producto de vectores que no es conmutativo pero sigue siendo asociativo. Si está familiarizado con los productos punto y cruz, incorpora propiedades de ambos. Dada una base ortogonal$e_1, e_2, e_3$, tenemos lo siguiente:

$$e_i e_j = \begin{cases} +1 & i = j \\ -e_j e_i & i \neq j \end{cases}$$

De nuevo, también es asociativo, así que$e_1 e_2 e_3 = (e_1 e_2) e_3 = e_1 (e_2 e_3)$por ejemplo. Esto crea un espacio vectorial de 8 dimensiones, con los siguientes elementos básicos:

$$1 \\ e_1, e_2, e_3 \\ e_1 e_2, e_2 e_3, e_3e_1 \\e_1 e_2 e_3$$

múltiplos escalares de$1$son escalares. combinaciones lineales de$e_1, e_2, e_3$son vectores. combinaciones lineales de$e_1 e_2, e_2 e_3, e_3 e_1$se denominan bivectores y son de interés para las rotaciones. Las rotaciones tienen lugar en planos (solo en 3D podemos decir que son alrededor de un eje, de manera equivalente), y los bivectores describen directamente los planos en los que tienen lugar las rotaciones.

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Rotores y rotaciones

Declararé lo siguiente sin pruebas, aunque debería ser familiar para cualquier persona con una comprensión básica de los cuaterniones.

Defina un rotor como la exponencial de un bivector (generalmente definido a través de una serie de potencias). Dejar$B$sea ​​algún bivector unitario. Entonces el rotor$q = \exp(Bt)$para algún escalar$t$es

$$q = \exp(Bt) = \cos t+ B \sin t$$

Un mapa de rotación$\underline R$en el plano correspondiente a$B$por el ángulo$\theta$toma la forma

$$\underline R(a) =e^{-B\theta/2} a e^{B\theta/2}$$

dónde$a$es cualquier vector.

(Nota: para aquellos con antecedentes de cuaterniones,$i = -e_2 e_3$,$j = -e_3 e_1$, y$k = -e_1 e_2$, por lo que no hay discrepancia de signos con esta definición).

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Aplicación: encontrar una rotación neta

El uso de rotores simplifica muchas de las matemáticas del análisis de rotaciones. Por ejemplo, consideremos el problema que tiene: sus funciones de rotación rotan el marco global y ellas mismas usan el marco global como el marco de referencia para estas rotaciones. Esto hace que secuenciar las rotaciones no sea algo trivial, pero los rotores nos permiten encontrar una forma más sencilla de hacer las cosas.

Dejar$e_x, e_y, e_z$ser el marco original. Si desea rotar sobre el original$e_x$y luego sobre el original$e_y$, entonces sus rotores se verían así:

$$q_\text{net} = \exp(-e_ze_x \phi/2) \exp(-e_y e_z \theta/2) = q_y q_x$$

Luego podemos multiplicar esto para encontrar el plano de rotación neto y el ángulo neto.

$$q_\text{net} = \cos \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} - e_z e_x \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} - e_y e_z \cos \frac{\phi}{2} \sin \frac{\theta}{2} + e_x e_y \sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\phi}{2}$$

Podemos encontrar el ángulo de rotación neto$\alpha$por

$$\cos\frac{\alpha}{2} = \cos \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2}$$

Consideremos el caso como usted sugirió,$\phi = \theta = \pi/2$. Entonces deberíamos tener

$$\cos\frac{\alpha}{2} =\left (\cos\frac{\pi}{4}\right)^2 = \frac{1}{2} \implies \frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{3}$$

o$\alpha = 2\pi/3 = 120^\circ$.

El plano de rotación neta es$(e_y e_z + e_z e_x - e_x e_y)/\sqrt{3}$, o una rotación sobre el eje$(e_x + e_y - e_z)/\sqrt{3}$.

Editar: con esto en mente, esto es lo que debe hacer.

• Para cada rotación en una secuencia de rotaciones, identifique el ángulo de rotación$\theta$y el plano unitario$\hat B$. Por ejemplo, si desea rotar sobre el$e_x$dirección, entonces el plano de rotación es$e_y e_z$.
• Escriba el rotor correspondiente para cada una de esas rotaciones como$q = \cos \theta/2 - \hat B \sin \theta/2$.
• Escribe una función para multiplicar rotores. Cada rotor tiene sólo cuatro componentes y es una combinación lineal de$1, e_x e_y, e_y e_z, e_z e_x$. Usando las reglas que describí en la segunda sección, calcula la tabla de multiplicar para estos elementos básicos. (O hacer trampa y buscar una tabla de multiplicar de cuaterniones).
• Multiplique los rotores individuales para encontrar el rotor neto de la rotación combinada.
• Dado ese rotor, encuentre el ángulo$\phi$y el plano de rotacion$\hat b$para la rotación neta. Nuevamente, recuerde que el rotor se puede escribir como$q = \cos \phi/2 - \hat b \sin \phi/2$. Esto significa que puedes tomar la parte escalar y usar un coseno inverso para encontrar$\phi$. Puede tomar los componentes restantes y normalizarlos como un bivector (de la misma manera que lo haría con un vector) para encontrar el plano unitario de rotación.

Mi solución

¡A todos en la sección de comentarios, me gustaría agradecerles por su ayuda ya que me han guiado a una solución!

Entonces, como dijiste, mi intuición era incorrecta y las rotaciones sobre múltiples ejes no conmutan.

Para que quede completamente claro con qué estoy trabajando, quiero reiterar que los valores que se pasan a mi función representan la rotación neta deseada en las direcciones horizontal y vertical, respectivamente.

entonces, cuando probé la rotación 2D (90,90) no obtuve una rotación de 90 grados en cada dirección, sino un compromiso entre los dos. En otras palabras, ¡estaba tratando de usar la longitud de uno de los lados pequeños del triángulo como hipotenusa!

Como tengo la magnitud de cada lado pequeño cuando se llama a la función, puedo usar el teorema de Pitágoras para determinar cuál debe ser la longitud de la hipotenusa. Después de leer los comentarios, creo que esta hipotenusa es equivalente al vector unitario de la rotación resultante. (Por favor, corríjame si me equivoco en ese punto).

Entonces, al usar el teorema de Pitágoras para determinar cuánto tiempo continuar la secuencia de rotaciones de 0,1 grados en función de las rotaciones netas deseadas en las direcciones horizontal y vertical, ¡puedo lograr los resultados que quiero!

Aquí está el nuevo código:

void rotate2D(float horizontal, float vertical)
{ 
  float[] rotations ={horizontal, vertical};
  if(rotations[0]>rotations[1])
  {
    float tmp = rotations[1];
    rotations[1]=rotations[0];
    rotations[0]=tmp;
  } 

  float c= sqrt(pow(rotations[0],2)+pow(rotations[1],2));
  float cIncr=0.1;
  float hIncr=(horizontal/(c/cIncr));
  float vIncr=(vertical/(c/cIncr));
  for(float i=0; i<c; i+=cIncr)
  {    
     rotateY(radians(hIncr));
     rotateX(radians(vIncr));
  }   
}

EDITAR: resulta que este método no funciona, hubo una falla en mi método de prueba, pero SÍ produce rotaciones visualmente agradables para mis propósitos.