Construye círculos de modo que toquen dos dados

Tenemos dos círculos dados (resaltados en verde en la siguiente ilustración). El centro del primer círculo es A = ( X A , y A ) y su radio es r a . El centro del segundo círculo es B = ( X B , y B ) y su radio es r b .

¿Cómo podemos calcular el centro? C = ( X C , y C ) de círculos que tocan los dos dados (como lo hace el círculo naranja resaltado)? Posiblemente existen dos curvas en las que se encuentran infinitos puntos centrales de tales círculos:

  • una curva en la que se encuentran los puntos centrales de los "pequeños círculos" (como la naranja)
  • una curva en la que se encuentran los puntos centrales de los "círculos grandes" (círculos grandes que abarcan los dos círculos verdes)

Esto es lo que probé: dibujar una línea recta A B y luego marcar dos puntos A ′ y B ′ con distancia r C cada uno de la periferia de los dos círculos dados en la línea recta.

¿Cómo puedo encontrar una fórmula simple (o incluso una curva implícita) para el centro? C de los círculos deseados?

ingrese la descripción de la imagen aquí

Hay infinitas de esas C y círculos.
Ok, esto es lo que no esperaba, pero es genial. ¡Gracias por esta pista! ¿Podemos encontrar entonces una fórmula para todos los puntos centrales de estos círculos? C k ? Estos puntos centrales deberían formar entonces una línea o una curva?
El C k todo se encuentra en una rama de una hipérbola con focos A , B .
¡Interesante! Estaba más pensando en otro "gran círculo" incrustando estos dos verdes como solución adicional. Para este gran círculo de incrustación, ¿existen infinitas soluciones también?
Ajusté la pregunta en consecuencia. Tu sugerencia fue esencial, ¡gracias!
Todavía hipérbola con los mismos focos, ya que esto es C A ± r A = C B ± r B , la elección de cada uno ± depende de si queremos circular C tocar el circulo A (o B ) interna o externamente. Las cuatro combinaciones te dan las cuatro ramas de dos hipérbolas (si r A = r B obtienes la bisectriz perpendicular de A B más una hipérbola).

Respuestas (1)

Dados círculos disjuntos y radios desiguales, el lugar geométrico de los centros comprende dos hipérbolas. Comience por la intersección del eje con los dos círculos. Deja que se cruce con el círculo A en A 1 y A 2 y círculo B en B 1 y B 2 , como se muestra aquí, donde A 1 y B 1 están entre los dos centros.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Dejar k ser el punto medio de A 2 B 2 , y L el punto medio de A 1 B 1 . Dejar PAG ser el centro de un círculo tangente externamente a ambos o tangente internamente a ambos. Esta relación sigue:

( PAG A − PAG B ) 2 = ( r a − r b ) 2

el lugar de PAG es una hipérbola con focos A y B . Puntos k y L ambos cumplen la condición de PAG , y se encuentran en el eje, por lo que esos son los vértices.

ingrese la descripción de la imagen aquí

Ahora empieza de nuevo. Dejar METRO ser el punto medio de A 2 B 1 , y norte el punto medio de A 1 B 2 . Dejar q ser el centro de una circunferencia tangente exteriormente a una de las circunferencias dadas e interiormente tangente a la otra. Esta relación sigue:

( q A − q B ) 2 = ( r a + r b ) 2

el lugar de q también es una hipérbola con focos A y B . Esta vez los vértices están en METRO y norte .

Otros casos a investigar serían círculos que se cortan o círculos congruentes.

¡Gracias por esta gran ilustración! Sería bueno si pudiera agregar una figura donde el círculo rojo inscriba completamente los dos círculos verdes. Según tengo entendido, el centro de dicho círculo estaría en la curva hiperbólica izquierda que muestra su primera figura, ¿verdad? O tal vez puedas extender tu primera figura agregando un círculo tan grande.
Sí, como dijiste, cualquier punto en la rama izquierda de esa primera hipérbola es el centro de un círculo tangente a ambos círculos dados y que los encierra a ambos. Ambos bocetos están trazados con bastante precisión, por lo que puede confirmarlo imprimiéndolos o pegando la imagen en algún software de geometría. No deseaba abarrotar más el boceto. De hecho, ni siquiera sé por qué me molesté con esas intersecciones de ejes y vértices. Otro caso que podría considerar tendría un círculo dado completamente dentro del otro.
¡Gracias por confirmar! ¿Puedo preguntar qué herramienta usaste para estas lindas tramas?
Eso se hizo con el Bloc de dibujo del geómetra, que sigue siendo mi arma preferida.
Genial, probaré esto también :-)
Construye círculos de modo que toquen dos dados
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v