Perímetro y área de un n-ágono regular.

Question

Perímetro y área de un n-ágono regular.

geometría
Matemáticas
trigonometría

Papá Noel

Un amigo mío me preguntó cómo derivar el área y el perímetro de un regular $n$ -gon con un radio $r$ para un proyecto de diseño en el que está trabajando. Se me ocurrió esto, pero quiero asegurarme de que no cometí ningún error antes de dárselo.

Primero, asumí que el $n$ -gon estaba inscrito en una circunferencia de radio r con centro en el origen, siendo el primer vértice de la circunferencia en el punto $(r,0)$ .

Los vértices de la $n$ -gon dividirá el círculo en $n$ secciones iguales. Como el ángulo total de un círculo es $2\pi$ , entonces el ángulo entre el $x$ -eje y el segundo vértice es $\frac{2\pi}{n}$ . Usando trigonometría, las coordenadas de este vértice son $\left(r\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right), r\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)$ .

Ahora, el origen, el primer vértice y el segundo vértice forman un triángulo. El borde de este triángulo que toca el círculo en dos lugares, usando la fórmula de la distancia, tendrá una longitud de $r\sqrt{\left(\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)-1\right)^2 + \left(\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)^2}$ .

Ahora el $n$ -gon estará formado por $n$ de estos triángulos, por lo que el perímetro es: $nr\sqrt{\left(\cos\left(\frac{2\pi}{n}\right)-1\right)^2 + \left(\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)\right)^2}$ .

Ahora, el triángulo tiene una base de $r$ y una altura de $r\sin(\frac{2\pi}{n})$ . El área de un triángulo es la mitad del producto de su base y su altura, entonces el área del triángulo es $\frac{r^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2}$ .

Nuevamente, el $n$ -gon está formado por $n$ de estos triángulos, entonces su área es: $\frac{nr^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)}{2}$

Sarvesh Ravichandran Iyer

r

$r$ no es el lado del polígono. Seguramente tu amigo te está preguntando por la fórmula en términos de la longitud del lado, aunque tú también estás cerca. Tu respuesta es correcta hasta aquí.

Papá Noel

No. Se supone que es en términos de radio.

Sarvesh Ravichandran Iyer

Ah, de todos modos, pero no veo el sentido de pedir la fórmula en términos de radio, a menos que el polígono se inscriba en un círculo o algo así. El lado parece más natural para determinar el área de un polígono.

Respuestas (2)

Perímetro y área de un n-ágono regular.

$r$ no es el lado del polígono. Seguramente tu amigo te está preguntando por la fórmula en términos de la longitud del lado, aunque tú también estás cerca. Tu respuesta es correcta hasta aquí.
Ah, de todos modos, pero no veo el sentido de pedir la fórmula en términos de radio, a menos que el polígono se inscriba en un círculo o algo así. El lado parece más natural para determinar el área de un polígono.

NF Taussig · Answer 1

Considere un polígono regular con longitud de lado $s$ inscrito en una circunferencia de radio $r$ . Dejar $\theta$ Sea la medida de un ángulo central subtendido por un lado del polígono regular como se muestra en la siguiente figura.

Como usted observó, ya que una revolución completa es $2\pi$ radianes, cada ángulo central que subtiende un lado de un polígono regular inscrito con $n$ lados tiene medida

θ = \frac{2 π}{norte}

$\theta = \frac{2\pi}{n}$ Cada triángulo que se forma conectando el centro del círculo a los vértices adyacentes del polígono regular inscrito es isósceles ya que los segmentos que conectan el centro a los vértices son radios del círculo.

Veamos más detenidamente un triángulo formado al conectar el centro del círculo con los vértices adyacentes del polígono regular. Si dibujamos una altura desde el ángulo del vértice hasta la base de un triángulo isósceles, biseca tanto el ángulo del vértice como la base, como se muestra en la figura siguiente.

El perímetro de un polígono regular de $n$ lados de la longitud del lado $s$ es $P = ns$ . Desde

\frac{s}{2} = r pecado (\frac{θ}{2})

$\frac{s}{2} = r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$ y

\frac{θ}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2 π}{norte} = \frac{π}{norte}

$\frac{\theta}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\pi}{n} = \frac{\pi}{n}$ tenemos

\frac{s}{2} = r pecado (\frac{π}{norte}) ⟹ s = 2 r pecado (\frac{π}{norte})

$\frac{s}{2} = r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right) \implies s = 2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ Por lo tanto, el perímetro del polígono regular es

PAG = norte s = norte [2 r pecado (\frac{π}{norte})] = 2 norte r pecado (\frac{π}{norte})

$P = ns = n\left[2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right] = 2nr\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$ Tenga en cuenta que la longitud de la altura del triángulo es

a = r porque (\frac{θ}{2}) = r porque (\frac{π}{norte})

$a = r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = r\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)$ Por lo tanto, el área encerrada por el triángulo es

\begin{aligned} A_{△} & = \frac{1}{2} s a \\ = \frac{1}{2} [2 r pecado (\frac{π}{norte})] [r porque (\frac{π}{norte})] \\ = \frac{1}{2} r^{2} [2 pecado (\frac{π}{norte}) porque (\frac{π}{norte})] \\ = \frac{1}{2} r^{2} pecado (\frac{2 π}{norte}) \end{aligned}

$\begin{align*} A_{\triangle} & = \frac{1}{2}sa\\ & = \frac{1}{2}\left[2r\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right]\left[r\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right]\\ & = \frac{1}{2}r^2\left[2\sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n}\right)\right]\\ & = \frac{1}{2}r^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right) \end{align*}$ Como el área encerrada por el polígono regular está compuesta por

n

$n$ tales regiones triangulares, el área encerrada por el polígono regular es

A = \frac{1}{2} norte r^{2} pecado (\frac{2 π}{norte})

$A = \frac{1}{2}nr^2\sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$ lo cual concuerda con la respuesta que obtuviste al tomar uno de los catetos como base del triángulo.

Martín Vacas Vignolo · Answer 2

El area del triangulo $ABC$ se puede calcular como $\frac{AB*AC*\sin(B\hat{A}C)}{2}$ . Ahora, divide tu n-polígono en n triángulos, aplica la fórmula y obtendrás la misma fórmula.

Perímetro y área de un n-ágono regular.

Papá Noel

Sarvesh Ravichandran Iyer

Papá Noel

Sarvesh Ravichandran Iyer

Respuestas (2)

NF Taussig

Martín Vacas Vignolo

Construye círculos de modo que toquen dos dados

Simular la rotación simultánea de un objeto sobre un origen fijo con recursos limitados.

El área promedio de la sombra de un cuadrado.

Probando la bisectriz usando trigonometría

Cuadrilátero en el que diagonal está parcialmente fuera?

Comprensión intuitiva de funciones trigonométricas de ángulos mayores que un ángulo recto

Maximizar un ángulo basado en ciertas restricciones

¿Número de triángulos ΔABCΔABC\Delta ABC con ∠ACB=30o∠ACB=30o\angle{ACB} = 30^o y AC=93–√AC=93AC=9\sqrt{3} y AB=9AB=9AB=9?

Encuentre ∠CAD∠CAD\angle CAD en la siguiente figura.

¿Es incorrecta la respuesta de un problema sobre la ecuación de una línea recta dada por mi libro?