Una función para generar ternas pitagóricas

Para un triángulo rectángulo dado$ABC$con hipotenusa$C$, si conoce el valor de una de las piernas, como$B$, puedes calcular los valores posibles para los otros dos lados usando la ecuación$"\dfrac{B^2}4\pm1"$. Por ejemplo, si te dan el valor de$4$, la solución procedería de la siguiente manera:$4^2 = 16; \dfrac{16}4 = 4$; y$4\pm1 = 3,5$dando las longitudes de los otros dos lados. Esto se convierte en el conocido$3,4,5$terna pitagórica. Esta ecuación funcionará para cualquier valor de A y dará resultados de números enteros para cualquier número par. Para números impares, existe la ecuación ligeramente diferente "$\dfrac{(B^2)\pm1}{2}$". Actualmente desconozco cómo derivar estas ecuaciones, y saber cómo sería de gran ayuda.

Editar: la ecuación impar funcionará para cualquier número dado debido a lo siguiente: (tenga en cuenta que una evaluación muy similar funcionará para la versión par de la ecuación)

${A^2}+{B^2}={C^2}$,$A=\dfrac{(B^2)-1}{2}$,$C=\dfrac{(B^2)+1}{2}$. Todos estos se dan ya que son parte de la función.

${(\dfrac{{B^2}-1}{2})^2}+{B^2}={(\dfrac{{B^2}+1}{2})^2}$al sustituir$A$y$C$.

${\dfrac{{B^4}-2{B^2}+1}4}+{B^2}={\dfrac{{B^4}+2{B^2}+1}4}$al cuadrar$A$y$C$.

${B^4}-2{B^2}+1+4{B^2}={B^4}+2{B^2}+1$multiplicando todo por$4$.

$-2{B^2}+4{B^2}=2{B^2}$con algunas cancelaciones.

$1=1$o$0=0$a través de más cancelaciones.

Por lo tanto, cualquier valor de$B$hará que la ecuación sea verdadera. La razón por la que funciona mejor con números enteros impares es porque "impar"$*$"extraño"$=$"raro", "raro"$\pm1=$"par", y solo los números pares dejan valores enteros cuando se reducen a la mitad.

Actualización: uno de los comentarios preguntó si esta ecuación podría modificarse para otros valores de$C-A$. Después de pensar un poco, he encontrado una familia de ecuaciones capaz de producir triples con cualquier valor de$C-A$.

Supongamos que$C-A=2x$. hay un numero$\theta$cuyo valor está a medio camino entre$C$y$A$, asi que, por lo tanto$A=\theta -x$, y$C=\theta +x$Sustituyendo estos valores en${A^2}+{B^2}={C^2}$nos da lo siguiente:

${(\theta-x)^2}+{B^2}={(\theta+x)^2}$

${B^2}+{\theta^2}-2\theta x+{x^2}={\theta^2}+2\theta x+{x^2}$

${B^2}=4\theta x$

$\theta ={\dfrac{B^2}{4x}}$

Porque$B=\theta -x$y$C=\theta +x$:

$B={\dfrac{A^2}{4x}}-x$

$C={\dfrac{A^2}{4x}}+x$

Si$C-A=2$, entonces$x=1$, y la ecuación se simplifica a "$\dfrac{B^2}4\pm1$". Otros valores de x también funcionarán. Para$C-A=3$,$x=1.5$, y la nueva ecuación es "$\dfrac{B^2}6\pm1.5$Esta ecuación produce números enteros cuando$B$es un múltiplo impar de$3$.

Se puede realizar un proceso similar al anterior para cualquier otro valor de$x$.