¿Un subgrupo está determinado por dónde están los generadores en sus clases laterales?

Supondré lo que está implícito en su notación de que el índice de$H$es igual al índice de$K$, y se denota$m$.

No estoy del todo seguro de qué significa realmente "distribución (hasta reordenar cosets)", pero a partir de su ejemplo parece significar que$K$y$H$inducir la misma partición del grupo electrógeno$\{x_1,x_2,...,x_n\}$.

De una forma u otra, esto es lo que debes tener en cuenta. Tomemos su ejemplo, con grupo electrógeno$\{x_1,x_2,x_3\}$. Pregúntese: ¿cuántas particiones tiene este grupo electrógeno? Respuesta: hay 5 particiones en total: una partición en un conjunto de cardinalidad 3; tres particiones en dos conjuntos, uno de cardinalidad 2 y otro de cardinalidad 1; y una partición en tres conjuntos cada uno de cardinalidad$1$.

Entonces, si esta afirmación fuera cierta, entonces para cualquier grupo$G$generado por$3$elementos, y para cualquier entero$m \ge 3$, el número de subgrupos de índice$m$sería$\le 5$.

Eso, sin embargo, se contradice directamente con el hecho de que el número de subgrupos de índice$m$en un grupo libre de rango 3 va a$+\infty$como$m \to +\infty$.