¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de (Q,+)(Q,+)(\Bbb{Q},+) a (Z,+)(Z,+)(\Bbb{Z},+)?

Question

¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de (Q,+)(Q,+)(\Bbb{Q},+) a (Z,+)(Z,+)(\Bbb{Z},+)?

Matemáticas
teoría de grupos
grupos infinitos
álgebra abstracta
grupo-homomorfismo

credo bratton

Considere los grupos $G = (\Bbb{Q},+)$ y $H = (\Bbb{Z},+)$ . ¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de $G$ a $H$ ? Si no, ¿cómo puedo probar que no lo hay?

Consideré un homomorfismo que redondea hacia arriba o hacia abajo, pero vi que estas operaciones no son "amigables" con la suma.

lulú

Suponer

f (r) = 1

$f(r)=1$ para algunos

r \in Q

$r\in \mathbb Q$ . Qué es

f (\frac{r}{2})

$f\left(\frac r2\right)$ ?

credo bratton

@lulu Vi la prueba considerando f(r/2) = f(r)/2 = 1/2 pero no entiendo por qué la primera ecuación debe ser cierta. La definición que aprendí en mi conferencia y la definición en wikipedia sugieren que el homomorfismo debe ser compatible bajo la operación de grupo que es la suma en nuestro caso. Entonces, ¿por qué esperamos que el homomorfismo sea compatible con la multiplicación aquí?

lulú

Nadie dijo nada sobre la multiplicación.

1 = f (r) = f (\frac{r}{2} + \frac{r}{2}) = f (\frac{r}{2}) + f (\frac{r}{2}) = 2 f (\frac{r}{2})

$1=f(r)=f\left(\frac r2+\frac r2\right)=f\left(\frac r2\right)+f\left(\frac r2\right)=2f\left(\frac r2\right)$

Arturo Magidín

2 f (1 / 2) = f (1 / 2) + f (1 / 2) = f ((1 / 2) + (1 / 2)) = f (1)

$2f(1/2) = f(1/2)+f(1/2) = f((1/2)+(1/2)) = f(1)$ entonces

f (1 / 2) = \frac{1}{2} f (1)

$f(1/2) = \frac{1}{2}f(1)$ .

Respuestas (2)

¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de (Q,+)(Q,+)(\Bbb{Q},+) a (Z,+)(Z,+)(\Bbb{Z},+)?

Suponer $f(r)=1$ para algunos $r\in \mathbb Q$ . Qué es $f\left(\frac r2\right)$ ?
@lulu Vi la prueba considerando f(r/2) = f(r)/2 = 1/2 pero no entiendo por qué la primera ecuación debe ser cierta. La definición que aprendí en mi conferencia y la definición en wikipedia sugieren que el homomorfismo debe ser compatible bajo la operación de grupo que es la suma en nuestro caso. Entonces, ¿por qué esperamos que el homomorfismo sea compatible con la multiplicación aquí?
Nadie dijo nada sobre la multiplicación. $1=f(r)=f\left(\frac r2+\frac r2\right)=f\left(\frac r2\right)+f\left(\frac r2\right)=2f\left(\frac r2\right)$
$2f(1/2) = f(1/2)+f(1/2) = f((1/2)+(1/2)) = f(1)$ entonces $f(1/2) = \frac{1}{2}f(1)$ .

Shaun · Answer 1

Dejar $\varphi: G\to H$ sea un homomorfismo.

Si $\varphi(g)=1$ , entonces

\begin{aligned} 1 & = φ (\frac{gramo}{2} + \frac{gramo}{2}) \\ = φ (\frac{gramo}{2}) + φ (\frac{gramo}{2}) \\ = 2 φ (\frac{gramo}{2}), \end{aligned}

$\begin{align} 1&=\varphi\left(\frac{g}{2}+\frac{g}{2}\right)\\ &=\varphi\left(\frac{g}{2}\right)+\varphi\left(\frac{g}{2}\right)\\ &=2\varphi\left(\frac{g}{2}\right), \end{align}$

pero entonces $\varphi\left(\frac{g}{2}\right)\notin\Bbb Z$ .

Arturo Magidín · Answer 2

No solo no hay sobreyección, no hay un mapa aditivo no trivial $\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ .

Tenga en cuenta que para cada $q\in\mathbb{Q}$ y todo entero positivo $n$ , existe un elemento $r\in\mathbb{Q}$ tal que $nr=q$ . Este hecho se respeta bajo un homomorfismo, ya que $nf(r)=f(rn)=f(q)$ . (Esto significa que el grupo aditivo de racionales es divisible ; las imágenes homomórficas de grupos divisibles son divisibles).

Así que la imagen de cualquier $q\in\mathbb{Q}$ debe ser un entero $a$ con la propiedad de que para todo entero positivo $n$ , hay un entero $b$ tal que $nb=a$ . El único entero de este tipo es $0$ (en ese caso $b=0$ también), por lo que un mapa aditivo $f\colon\mathbb{Q}\to\mathbb{Z}$ debe enviar todo a $0$ .

¿Existe un homomorfismo sobreyectivo de (Q,+)(Q,+)(\Bbb{Q},+) a (Z,+)(Z,+)(\Bbb{Z},+)?

credo bratton

lulú

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lulú

Arturo Magidín

Respuestas (2)

Shaun

Arturo Magidín

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El grupo es indescomponible pero la imagen homomórfica no lo es.

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