¿Cómo pueden los grupos cíclicos ser infinitos?

Cuando hablamos de un "grupo cíclico", es decir, un grupo generado por un "elemento único", en realidad queremos decir "ese elemento y su inverso".

Son realmente todas las potencias enteras del elemento, no solo las potencias de los números naturales.

Sin embargo, en un grupo cíclico finito, puede pensar que es generado por todas las potencias de los números naturales del elemento generador, porque si$g^n = e$, entonces$g^{n - 1} = g^{-1}$.

Editar:

Tal vez no debería haber dicho "realmente queremos decir". Creo que es justo decir que puedes pensar en un grupo cíclico como creado por los productos del elemento y su inverso.

Aquí hay una definición oficial, de Lang's Algebra , página 9:

Dejar$G$ser un grupo y$S$un subconjunto de$G$. diremos que$S$ genera $G$, o eso$S$es un conjunto de generadores para$G$, si cada elemento de$G$puede expresarse como un producto de elementos de$S$o inversas de elementos de$S$, es decir, como un producto$x_1 \cdots x_n$donde cada uno$x_i$o$x_i^{-1}$es en$S$.

Eso$T$, el conjunto de todos los productos de elementos de$S$o inversas de elementos de$S$, es un subgrupo de$G$, y de hecho el subgrupo más pequeño de$G$que contiene$S$, sigue rápidamente después de esto.

Un grupo cíclico para el cual$S$es un singleton.

¿Todos los grupos vienen con una operación inversa tal que$a \in S$y$b \in S$,$a \circ^{-1}b \in S$?

Quieres decir "$a^{-1} b \in S$"? Si es así, entonces sí, ¡la existencia de inversas es literalmente uno de los axiomas de grupo!

Creo que un significado preciso de la palabra "generado" ayudará a responder esta pregunta.

Dejar$G$ser un grupo, y dejar$S$ser cualquier subconjunto de$G$. El subgrupo de$G$generado por$S$, a veces denotado$\langle S \rangle_G$, se define como la intersección de todos los subgrupos de$G$que contienen$S$como un subconjunto.

De esta definición vemos que$\langle S \rangle_G$es el único subgrupo más pequeño de$G$que contiene$S$como un subconjunto, y de esto no es muy difícil probar que$\langle S \rangle_G$es también el conjunto de elementos de$G$de la forma$x_1 x_2 \cdots x_n$donde cada uno$x_1, \dots, x_n$es un elemento de$S$o el inverso de un elemento de$S$. Entonces, los inversos no surgen de la nada: ¡surgen naturalmente de esta construcción del subgrupo generado por un subconjunto!

cuando decimos eso$G$es generado por un subconjunto$S$, queremos decir que$\langle S \rangle_G = G$; es decir, cada elemento de$G$puede escribirse como un producto finito de elementos de$S$y sus inversas. "$G$es cíclico" significa que$G$es generado por algún subconjunto singleton, es decir, hay algún$a \in G$tal que cada elemento de$G$es un producto finito de los términos$a$y$a^{-1}$. En otras palabras, "$G$es cíclico" equivale a decir "existe algún$a \in G$tal que cada elemento de$G$es igual a$a^n$por algún entero$n$".

Todos los grupos vienen con una operación inversa por lo que si$a \in S, a^{-1}\in S$. El cierre de la operación garantiza entonces que$a^{-1} \circ b \in S$entonces$a^{-n} \in S$Eso todavía no significa que los enteros se envuelvan como la palabra cíclico implica en inglés, pero si observa la definición, no es necesario que se envuelvan. La definición de cíclico simplemente dice que$a^n$es todo el grupo, donde$n$es un número entero, no necesariamente un natural.

Cuando extendemos la definición de finito a infinito, a menudo tenemos que decidir qué es importante conservar y qué no. Para grupos finitos, cíclico implica que hay un elemento$a$y un natural$n$tal que$a, a^2, a^3 \ldots a^n, e=a^{n+1}$es todo el grupo. Como$n$se hace más grande el ciclo se hace más largo. Si insistiéramos en la envoltura, no habría grupos cíclicos infinitos. Podemos renunciar a la envoltura y solo pedir que$a$generar todo el grupo. Eso permite infinitos grupos cíclicos como los enteros bajo suma. Se decidió que esa era la extensión adecuada.

El grupo cíclico generado por un elemento.$a\in G$es por definición$G\ge\langle a\rangle:=\{a^n:n\in\Bbb Z\}$. De esto se sigue fácilmente que$\Bbb Z\ge\langle 1\rangle=\Bbb Z$.

Curiosamente, este es el único grupo cíclico infinito.

También interesantemente, para grupos finitos tenemos la simplificación que$\langle a\rangle=\{a^n:n\in\Bbb Z^+\}$, ya que para algunos$n\gt0$,$a^n=e$.

Otros han dado algunas respuestas. Mi observación sería que tener algo generado por$1$utilizando la operación$+$ya necesitas un contexto en el que$1$y$+$tener sentido. Esto no nos lo has dado. que tipo de objeto es$1$y que propiedades tiene? que tipo de operacion es$+$y qué propiedades tiene (¿asociativa? ¿conmutativa?).

Para ilustrar el problema, no está claro si lo que genera incluye algo como$0$que es una identidad aditiva. Los enteros no negativos (vea He definido un conjunto dentro del cual mi operación tiene sentido) bajo la definición habitual de adición forman un monoide, pero no un grupo. La diferencia es que un grupo tiene inversas para cada elemento por definición.