Si todo grupo cociente finito de un grupo lineal G generado finitamente es soluble, entonces G es soluble

Question

Si todo grupo cociente finito de un grupo lineal G generado finitamente es soluble, entonces G es soluble

Matemáticas
teoría de grupos
grupos lineales
grupos infinitos
grupos solubles
generado finitamente

Algebro1000

Para esta pregunta, pude demostrar que cada cociente finito es policíclico: supongamos $N$ es un subgrupo normal de índice finito. Entonces, todos los subgrupos de $G/N$ son finitos, entonces $G/N$ es noetheriano. Un grupo soluble es policíclico si es noetheriano. En este punto, no sé cómo continuar o si voy en la dirección correcta. Estoy familiarizado con los teoremas de Mal'cev, Milnor, Wolf, etc.

¡Apreciaría cualquier ayuda!

Dietrich Burde

Ver tu pregunta de ayer. Tenemos nuevamente el Lema de Zassenhaus (lo que escribiste), "Sobre los grupos lineales de Noether", Lema

2

$2$ .

Derek Holt

@DietrichBurde Pero, ¿el lema de Zassenhaus se aplica también a los cocientes solubles finitos de grupos lineales?

Respuestas (1)

Si todo grupo cociente finito de un grupo lineal G generado finitamente es soluble, entonces G es soluble

Ver tu pregunta de ayer. Tenemos nuevamente el Lema de Zassenhaus (lo que escribiste), "Sobre los grupos lineales de Noether", Lema $2$ .
@DietrichBurde Pero, ¿el lema de Zassenhaus se aplica también a los cocientes solubles finitos de grupos lineales?

Sean Eberhard · Answer 1

Dejar $G \leq \mathrm{GL}_n(K)$ ser tu grupo. Dejar $f(n)$ sea la longitud máxima derivada de un subgrupo soluble de $\mathrm{GL}_n(F)$ para cualquier campo $F$ (Teorema de Zassenhaus). Suponer $g \in G^{(f(n))}$ no es trivial. Por el teorema de Mal'cev, hay un campo finito $F$ y un homomorfismo $\pi : G \to \mathrm{GL}_n(F)$ tal que $\pi(g) \neq 1$ . Pero $\pi(g) \in \pi(G)^{(f(n))}$ , y $\pi(G)$ es finito y, por lo tanto, soluble por hipótesis, por lo que esto es una contradicción. Por eso $G^{(f(n))} = 1$ .

Una pregunta más: a mi entender, el Teorema de Mal'cev nos permite concluir que $G$ es residualmente finito. Por lo tanto, por lo anterior $g$ , existe un subgrupo normal de índice finito $N \triangleleft G$ tal que la proyección $\pi : G \to G/N$ satisface $\pi(g) \neq 1$ . ¿Cómo podemos concluir que $G/N$ es (isomorfo a) $GL_n(F)$ para algún campo finito F, para usar el límite $f(n)$ ?
Normalmente no se incluye en la declaración, pero mire la prueba. Así está demostrado.

Si todo grupo cociente finito de un grupo lineal G generado finitamente es soluble, entonces G es soluble

Algebro1000

Dietrich Burde

Derek Holt

Respuestas (1)

Sean Eberhard

Algebro1000

Algebro1000

Sean Eberhard

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