Isomorfismos para productos directos infinitos de grupos

Comencemos con varias formas de definir el producto cartesiano:

1. $G_1\times G_2$se define como el conjunto de todos los pares$(g_1,g_2)$, dónde$g_i\in G_i$. Entonces$G_1\times\cdots\times G_n$se define recursivamente como$G_1\times(G_2\times\cdots\times G_n)$.
2. $G_1\times\cdots\times G_n$se define como el conjunto de todos$n$-tuplas$(g_1,\ldots,g_n)$dónde$g_i\in G_i$. El término "$n$-tuple" en sí mismo se puede definir de varias maneras .

Ambas construcciones son naturalmente isomorfas (lo que puede demostrarse por inducción). Además, tal como dijiste, se puede demostrar que

$$(G_1\times G_2)\times G_3\simeq G_1\times (G_2\times G_3)$$

que por inducción se extiende a cualquier número de elementos y cualquier paréntesis. Esta propiedad se conoce como asociatividad .

Ahora, para hablar de una variante infinita, primero necesitamos una versión infinita del producto cartesiano. Ni la definición 1. ni la 2. se extiende fácilmente a un número infinito de elementos. Aunque se puede hacer vía por ejemplo inducción transfinita . Pero propongo un enfoque diferente (pero aún estándar) aquí:

3. Dejar$\{X_i\}_{i\in I}$Sea una colección de conjuntos. Entonces definimos el producto cartesiano de esa colección como: $$\prod_{i\in I}X_i:=\bigg\{f:I\to\bigcup_{i\in I}X_i\ \bigg|\ f(i)\in X_i\bigg\}$$ también conocido como el conjunto de todas las funciones de elección sobre$\{X_i\}_{i\in I}$. si cada uno$X_i$es además un grupo, entonces$\prod_{i\in I}X_i$es un grupo también a través de una operación puntual: si$f,g$son funciones de elección entonces$fg$es una función de elección dada por$fg(i):=f(i)g(i)$lo cual tiene sentido ya que$f(i),g(i)\in X_i$. En esa situación llamamos$\prod_{i\in I}X_i$el producto directo.

Si$I$es un conjunto finito, entonces se puede demostrar que esta definición es equivalente a las dos anteriores. De hecho, un$n$-tupla$(x_1,\ldots,x_n)\in X_1\times\cdots\times X_n$no es más que una función de elección$x:\{1,\ldots,n\}\to X_1\cup\cdots\cup X_n$.

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Con esta configuración, hablemos finalmente de la asociatividad. ¿Cómo modelaríamos un número infinito de corchetes? Bueno, un enfoque es ver el paréntesis como nada más que la partición de toda la colección en subcolecciones más pequeñas. Con esa intuición considera esto:

Dejar$\{X_i\}_{i\in I}$Sea una colección de conjuntos (grupos). Considerar$\mathcal{P}$ser cualquier partición de$I$, es decir, elementos de$\mathcal{P}$son subconjuntos disjuntos por pares de$I$y$I=\bigcup\mathcal{P}$. Entonces

$$\prod_{i\in I}X_i\simeq \prod_{P\in\mathcal{P}}\bigg(\prod_{i\in P}X_i\bigg)$$

Así se expresa la asociatividad en este nivel. ¿Y cómo demostramos eso? Considerar

$$F:\prod_{i\in I}X_i\to\prod_{P\in\mathcal{P}}\bigg(\prod_{i\in P}X_i\bigg)$$

Entonces, dada una función de elección$g\in \prod_{i\in I}X_i$necesitamos producir una función de elección$F(g)\in\prod_{P\in\mathcal{P}}\bigg(\prod_{i\in P}X_i\bigg)$. Así para cualquier$P\in\mathcal{P}$necesitamos definir una función de elección$F(g)(P)\in \prod_{i\in P}X_i$. Y esto tiene una definición simple.$F(g)(P)(i):=g(i)$. Puede verificar fácilmente que dicha función preserva las estructuras de grupo.

¿Qué pasa con el inverso? Bueno, si$i\in I$, entonces$i$pertenece exactamente a uno$P_i\in\mathcal{P}$. Por lo tanto la inversa viene dada por

$$G:\prod_{P\in\mathcal{P}}\bigg(\prod_{i\in P}X_i\bigg)\to \prod_{i\in I}X_i$$ $$G(f)(i):=f(P_i)(i)$$

Un poco abstracto, pero así es como se ven formalmente las cosas.

Advertencia: tenga en cuenta que no podemos expresar un "anidamiento" infinito de paréntesis con este enfoque. Podemos lidiar con el anidamiento finito simplemente aplicando nuestra regla de asociatividad finitamente muchas veces. Sin embargo, el anidamiento infinito es un concepto extraño, ¿cómo lo definiríamos formalmente? No estoy seguro. También tenga en cuenta que, por ejemplo, la teoría fundamental de conjuntos ( Zermelo-Fraenkel ) no permite la anidación infinita de conjuntos (ver: el Axioma de Regularidad ). Entonces, en mi humilde opinión, no es una buena idea ir por ese camino.

Nota al margen: Vale la pena mencionar que cuando cada$X_i$es un grupo, entonces a menudo tratamos$\bigoplus_{i\in I}X_i$que se define como

$$\{f\in\prod_{i\in I}X_i \ |\ f(i)=e_i\text{ for all but finitely many }i\}$$ dónde$e_i$es el elemento neutro de$X_i$. Esto se conoce como la suma directa y es un subconjunto propio de$\prod_{i\in I}X_i$cuando$I$es infinito (coinciden en caso contrario). Bueno, está bien, para ser 100% correcto: esa declaración en realidad requiere el Axioma de Elección. De todos modos, a menudo verás la suma directa en álgebra en lugar del producto directo porque tiene muchas buenas propiedades a diferencia del producto directo. Por ejemplo, la suma directa de grupos abelianos libres siempre es abeliano libre, mientras que el producto directo de grupos abelianos libres nunca es abeliano libre (a menos que el producto sea finito), ver aquí . También es asociativo de manera similar al producto directo.