Un semigrupo en el que ambas ecuaciones ax=b y ya=b tienen solución única, es un grupo. Pruébalo. [duplicar]

¿Cuál es el significado real de que ax=b y ya=b tienen una solución única?

Significa que, por cada$a$y$b$existe exactamente uno$x$tal que$ax=b$, y existe exactamente uno$y$tal que$ya=b$.

En cuanto a tu prueba: empezaste bien. Para cada$a$habrá único$e$tal que$ae=a$. Sin embargo, es que$e$lo mismo para todos$a$es ?

elijamos$e$para uno en particular$a$y comprueba que$be=b$para todos los demás$b$. Ahora, sabes que$b=ya$para algunos$y$. De este modo,$be=yae=ya=b$.

El resto de la prueba se ve bien. Es posible que desee completarlo (existencia de inversa, etc.), pero es bastante obvio cómo funcionará.

Esto está mal. No justificaste cómo saltaste de “por cada$a$y cada$b$hay uno y solo uno$x$tal que$ax=b$” a “hay un$e$semejante$(\forall a\in G):ae=e$”. Eso es un gran salto.

Dado que G es un semigrupo. Por lo que posee propiedad de clausura y asociatividad también. Ahora bien, si demostramos que 1- G tiene una identidad correcta. 2- Todo elemento de G tiene un derecho inverso con respecto a la derecha identidad. Entonces G será un grupo. Para (1)- sea a∈G cualquiera. Supongamos que ax=a, ∃ e en G tal que ae=e (dado que ax=b y ya=b tiene una solución en G). Ahora probaremos que este e es la identidad correcta en G. Considere que g pertenece a G cualquiera, entonces ya=g tiene solución en G ⇒ existe algo de h en G tal que ha=g Ahora ge=(ha)e=h(ae)=ha =g⇒ e es la identidad correcta ∀g∈G.

Para(2)- sea a∈G cualquiera. Entonces ax=e tiene una solución en G, digamos a'. Entonces aa'=e, de modo que a tiene inversa a la derecha en G.