Un elemento de un semigrupo se llama regular siempre que exista tal que . se llama regular si todos sus elementos son regulares. Dejar ser un monoide con elemento de identidad . Un elemento se llama invertible si existe tal que . El conjunto de todos los elementos inversos del monoide. se denota por .
¿Hay ejemplos de monoides que no sean regulares y tengan más de un elemento invertible, particularmente relacionados con los semigrupos de transformación?
Los enteros bajo la multiplicación tienen dos elementos invertibles, sin embargo, solo tiene tres elementos regulares.
Los racionales diádicos (los números racionales cuyo denominador es una potencia natural de ) bajo la multiplicación tiene infinitos elementos invertibles (cualquier potencia integral de ), sin embargo, cualquier racional diádico con un factor primo impar en su numerador es no regular.
Ejemplo mínimo . Dejar ser el monoide en el que es la identidad, es un cero, , y . El grupo de unidades de es , el grupo cíclico de orden y es el único elemento no regular.
Para obtener como un monoide de transformación, simplemente tome su representación correcta.