Determinar si un polinomio es resoluble por radicales

Dejar F ( X ) = X 12 + 2 X 6 − 2 X 3 + 2 y deja k sea ​​su campo de división. Es el grupo de Galois de k / q ¿soluble?

Como en realidad solo estamos interesados ​​en el polinomio X 4 + 2 X 2 − 2 X + 2 , y sabemos que existe una fórmula cuartica. Basta concluir que el polinomio es soluble por radicales y por lo tanto el grupo de Galois es soluble. ¿Es correcta esta solución?

La pregunta también pregunta si este polinomio es irreducible. Esto es fácil de mostrar a través del criterio de Eisenstein. Pero, ¿es la irreductibilidad del polinomio importante de alguna manera para demostrar que es solucionable?

febrero de 2016

La irreductibilidad no es necesaria ya que cuando calculas las raíces en radicales, las calculas todas.

Respuestas (1)

El grupo Galois de F ( X ) tiene orden 3888 = 2 4 ⋅ 3 5 . Para el cálculo se puede utilizar Magma online aquí . Este grupo es, según Burnside pag r q s -Teorema solucionable, ya que el orden tiene solo dos divisores primos diferentes. el polinomio X 4 + 2 X 2 − 2 X + 2 tiene un grupo de Galois soluble, consulte el artículo de K. Conrad Galois group of cubics and quartics , a saber, uno de los siguientes grupos solubles: S 4 , A 4 , D 4 , C 4 , C 2 × C 2 . Sin embargo, el grupo Galois de X 12 + 2 X 6 − 2 X 3 + 2 es bastante diferente de estos grupos.

Estaba pensando más en la línea de "¿es el polinomio soluble por radicales?", En cuyo caso, el grupo de galois también sería soluble. Y como todo polinomio de cuarto grado se puede resolver con radicales, y = X 3 implicaría X es también un radical, por lo que el polinomio original también podría resolverse mediante radicales. Sin embargo, los grupos de galois no necesariamente tienen que ser los mismos.
Veo. Parece que tienes razón.
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