Existencia de semigrupo inverso envolvente universal (similar al "grupo de Grothendieck")

No he verificado los detalles de esto yo mismo, por lo que no puedo decirle las respuestas correctas a sus preguntas, pero le sugiero que intente aplicar el teorema del funtor adjunto de la teoría de categorías:

http://en.wikipedia.org/wiki/Adjoint_functors#General_existence_theorem

Para traducir el problema a un lenguaje categórico, dejemos$\mathbf{Smgrp}$denote la categoría de semigrupos (con homomorfismos de semigrupos como morfismos) y sea$\mathbf{Inv}$ denote la categoría de semigrupos inversos (los morfismos son, nuevamente, homomorfismos de semigrupos; es fácil ver que un morfismo de semigrupos conserva los inversos como los ha definido anteriormente). Claramente,$\mathbf{Inv}$ es una subcategoría de$\mathbf{Smgrp}$, entonces hay un funtor olvidadizo$F: \mathbf{Inv} \to \mathbf{Smgrp}$. Dado que la construcción aquí se denomina semigrupo inverso envolvente universal de un semigrupo, deberíamos esperar que la construcción constituya un funtor adjunto izquierdo a$F$.

Para deletrear la propiedad universal, esto significa que si$S_{I}$es el semigrupo inverso universal del semigrupo$S$, entonces hay un homomorfismo de semigrupo$f: S \to S_{I}$(formalmente, un morfismo$f: S \to F(S_{I})$) tal que siempre que$g: S \to H$ ($g: S \to F(H)$es un homomorfismo de semigrupo con$H$ un semigrupo inverso, entonces existe un homomorfismo de semigrupo único$h: S_{I} \to H$tal que$g = h \circ f$(formalmente,$g = F(h) \circ f$).

Ahora es una simple cuestión de comprobar que se cumplen las condiciones del teorema; la categoría$\mathbf{Inv}$ es completo (tiene productos y ecualizadores, y por lo tanto todos los límites (pequeños), por lo que se aplica el teorema. Si quiere que los semigrupos involucrados sean conmutativos, simplemente cambie las categorías apropiadamente.

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Más detalles

Bosquejo de prueba de que existe el adjunto izquierdo: en primer lugar, debemos observar los límites en$\mathbf{Smgrp}$ y$\mathbf{Inv}$; resultan ser "lo mismo": si$\{ S_{i} \}_{i \in I}$es una familia de semigrupos, el producto es simplemente el producto cartesiano de los conjuntos subyacentes, con la operación "puntual" obvia. Si todos los semigrupos son semigrupos inversos, el resultado es un semigrupo inverso. Puede verificar fácilmente que tiene la propiedad universal requerida para un producto, consulte

http://en.wikipedia.org/wiki/Product_(category_theory )

Si$f,g: S_1 \to S_2$son homomorfismos de semigrupos, su ecualizador es

$$E = \{ s \in S_1 \,|\, f(s) = g(s) \}$$ junto con el homomorfismo de inclusión $e: E \hookrightarrow S_1$. $E$ es un semigrupo en la forma obvia, y es un semigrupo inverso si $S_1$y $S_2$son (si $x \in E$tener inversa $y \in S_1$, tenemos $f(x) = g(x)$, y se sigue que ambos $g(y)$ y $f(y)$ es el inverso de $f(x) = g(x)$; por singularidad, $f(y) = g(y)$ entonces $y \in E$también). Puedes volver a comprobarlo $(E,e)$ tiene la propiedad universal requerida, ver

http://en.wikipedia.org/wiki/Equalizer_(matemáticas )

Por lo tanto, ambos$\mathbf{Smgrp}$ y$\mathbf{Inv}$ son (pequeñas) categorías completas, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Limit_(category_theory ) (en Existencia de límites ).

eso lo conseguimos$F$ conserva los límites de forma gratuita, ya que los límites se construyen exactamente de la misma manera en ambas categorías, y los morfismos son los mismos. Lo que queda es la condición del conjunto solución. Arreglar un semigrupo$S$, y considere un homomorfismo de semigrupos$f: S \to F(H)$, para algún semigrupo inverso$H$. La idea es tomar el conjunto solución como las clases de isomorfismos de los semigrupos inversos generados por$f(S)$para algunos$f$. Este será un conjunto si la cardinalidad del semigrupo inverso$\langle f(s) \rangle \subseteq H$, generado por$f(S) \subseteq H$ está acotado, para un determinado$S$. Este parece ser el caso aquí, ya que puede comenzar con$G = f(S) \cup f(S)^{-1}$(dónde$f(S)^{-1}$ denota el conjunto de inversas en$H$ para elementos en$f(S)$), y considerar todos los productos finitos de elementos en$G$. Este será un semigrupo inverso (porque, como mencionaste, la fórmula$(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$sostiene). Aún debe verificar que esto realmente sea un conjunto de soluciones, pero eso debería ser razonablemente fácil.

Tenga en cuenta que esto solo responde a la pregunta de la existencia, no proporciona una construcción explícita. Supongo que pensar en uno no va a ser demasiado difícil (y parece que ya tienes algunas ideas en esa dirección, al menos para ejemplos específicos), tal vez se pueda emular la construcción del grupo de Grothendieck.    

Ahora descubrí cómo probar que no existe un "semigrupo regular envolvente universal" para el ejemplo dado en la pregunta. (La existencia de los otros dos casos ya ha sido probada en la respuesta de Martin Wanvik).

Dejar$a=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$,$b=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$,$b'=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,$c=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$,$c'=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$,$d=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,$d'=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$,$e=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$, y$f=\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$. Dejar$N := \{ a,b \}$y$N_I := \{ a,b,b',e,f \}$(como en la pregunta con$b'=b^{-1}$,$e=bb^{-1}$ $f=b^{-1}b$). Es fácil ver eso$S := \{ a,b,b',c,c',d,d',e,f \}$es un grupo regular, y eso$N_I$y$R := \{ a,b,c,d,e \}$son subsemigrupos regulares de$S$. Ahora$b^{-1}=b'$en$N_I$y$c$es el único elemento inverso de$b$en$R$. Entonces, si existiera un semigrupo regular$N_R$que contiene$N$como subsemigrupo, para el cual es posible extender de manera única cualquier homomorfismo de$N$a$N_I$o$R$, entonces la extensión a$N_R$de un homomorfismo$h$de$N$a$S$(con$h(a)=a$y$h(b)=b$) no será único.