Cada campo finito tiene una extensión en la que cada elemento tiene una raíz cuadrada

Sé que cada campo tiene un cierre algebraico, solo quería probar esta afirmación por separado usando métodos "más simples".

Dejar$(K,+,\cdot)$ser un campo finito. Supongamos primero que existe un$x \in K$tal que por cada$y \in K$tenemos$y^2 \neq x$. Definir las operaciones$+'$y$\cdot'$en$K^2$con$(a,b)+'(c,d) = (a+c,b+d)$y$(a,b)\cdot'(c,d) = (ac+bdx,ad+bc)$. Podemos verificar que$(K^2,+',\cdot')$es un campo, con$(1,0)$siendo el elemento neutral multiplicativo, etc. Sea$(a,b) \neq (0,0)$. Supongamos que los vectores$(a,b)$y$(bx,a)$son linealmente dependientes, es decir, existe un$c \in K$tal que$cb = a$y$bx = ca = c^2b$. Si$b = 0$, entonces también lo es$a$, contradiciendo$(a,b) \neq (0,0)$. Si$b \neq 0$, entonces obtenemos$x = c^2$, contradiciendo nuestra suposición$\forall y \in K: y^2 \neq x$. Así, los vectores$(a,b)$y$(bx,a)$son linealmente independientes, lo que significa que el sistema de ecuaciones lineales$(a,b)(c,d) = (ac+bdx,ad+bc) = (1,0)$para$(a,b) \neq (0,0)$tiene solución única, demostrando que$(K^2,+',\cdot')$es un campo Obviamente,$\{(a,0)\;|\;a \in K\}$es un subcampo de$K^2$que es isomorfo a$K$para que podamos reemplazar$(a,0)$con$a$. También vemos que$(0,1)(0,1) = (x,0) = x$Lo que significa que$x$tiene una raíz cuadrada en$K^2$. Desde$K$es finito, solo hay un número finito de elementos que pueden no tener una raíz cuadrada en$K$, por lo que podemos repetir la construcción de extensiones de campo hasta que obtengamos una extensión de campo$L \geq K$donde cada elemento en$K$tiene una raíz cuadrada en$L$.$L$sigue siendo un campo finito. Ahora deja$K_0 := K, K_1 := L$, dejar$K_2$Sea la extensión del campo de$K_1$donde cada elemento de$K_1$tiene una raíz cuadrada en$K_2$etcétera. Dejar$M := \cup_{n\in\mathbb{N}} K_n$. Desde$K_0 \subset K_1 \subset K_2 \subset ...$, para cada$a,b \in M$, existe una más pequeña$n \in \mathbb{N}$tal que$a,b \in K_n$. Para éstos$a,b$, definir operaciones$+$y$\cdot$en$M$como el respectivo$+$y$\cdot$en$K_n$. Es fácil demostrar que$(M,+,\cdot)$es un campo Dejar$x \in M$. Entonces existe un$n \in \mathbb{N}$tal que$x \in K_n$. Por construcción de$K_{n+1}$, x tiene una raíz cuadrada y en$K_{n+1} \subset M$. Así, cada$x \in M$tiene una raíz cuadrada en$M$.