Un satélite en órbita dispara sus motores por un breve intervalo. ¿La nueva órbita está más cerca o más lejos?

Un satélite se encuentra en una órbita circular cuando sus motores se encienden para ejercer una pequeña fuerza en la dirección de la velocidad durante un breve intervalo de tiempo. ¿La nueva órbita está más lejos o más cerca de la Tierra?

La solución es que la nueva órbita esté más alejada (lo cual también es intuitivo) y se justifica afirmando que hay un incremento positivo en la energía total lo cual viene dado por la fórmula:

mi T = − GRAMO METRO metro 2 r
Y eso establece que un aumento en la energía total daría como resultado un radio más grande. Por lo tanto, la nueva órbita está más lejos.

Sin embargo, el problema surge cuando miro esta ecuación que relaciona la velocidad con el radio:

v 2 = GRAMO METRO r
Dado que la pequeña fuerza estaba en la dirección de la velocidad, un aumento en la velocidad debería resultar en una DISMINUCIÓN en el radio, lo que significa que la nueva órbita está más cerca de acuerdo con esta ecuación.

¿Por qué es correcto usar la primera ecuación, mientras que la segunda es incorrecta? ¿Por qué la segunda ecuación no funciona aquí?

¡Gracias!

mi T es sólo la energía potencial; estás ignorando la energía cinética.
@Dave: En realidad, esa fórmula tiene en cuenta tanto la energía potencial como la cinética. Puedes ver cómo se deriva aquí enlace
Oh sí; Me perdí el factor de (1/2)

Respuestas (3)

Otros afirman correctamente que la trayectoria ya no es circular. tu segunda ecuacion

v 2 = GRAMO METRO metro r
probablemente se derivó del movimiento circular uniforme:
metro v 2 r = GRAMO METRO metro r 2 .

Si el movimiento no es circular (como es el caso), la ecuación anterior no se cumplirá.

En cuanto a su primera ecuación, la forma más general es

mi T = − GRAMO METRO metro 2 a ,
dónde a es el semieje mayor. Para órbitas circulares, a = r (el radio de la órbita). Su razonamiento anterior todavía funciona aquí: podría decirse que la energía total de este sistema de dos cuerpos aumenta, a debe aumentar también ya que un aumento en a correspondería a una energía más cercana a cero; es decir, más alto que antes.

En ese caso, tiene mucho sentido por qué esa otra ecuación no funciona. Sin embargo, ¿cómo pudiste establecer que la órbita sería una elipse? ¿Qué hace que una órbita sea una elipse o un círculo?
@sheheryar-zaidi: El satélite tiene aceleración gravitatoria gramo en cada punto de su trayectoria. La órbita puede ser un círculo cuando v 2 r (aceleración hacia adentro del movimiento circular) es igual a gramo .

La órbita ya no será circular. Será elipse. Parte de la trayectoria será más rápida que antes y la mayor parte de la trayectoria será en una distancia mayor.

Si la velocidad aumenta o disminuye (ligeramente) desde la velocidad de la órbita del círculo perfecto, la órbita cambiará a una elipse. Si la velocidad aumenta en un factor sqrt(2) esencialmente instantáneo, la órbita cambiará a la parábola de escape. Esto es cierto, sin importar la altura de la órbita circular. Y sí, asumo que el objeto en órbita tiene una masa insignificante en comparación con la Tierra. La velocidad de escape es la raíz (2) veces la velocidad de la órbita circular.

Un satélite en órbita dispara sus motores por un breve intervalo. ¿La nueva órbita está más cerca o más lejos?
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