Cinemática y dinámica de un satélite que se estrella

Un satélite en órbita circular baja alrededor de la Tierra experimenta arrastre (fricción) y lentamente gira en espiral hacia la atmósfera de la Tierra. Luego ingresa a la atmósfera de la Tierra, se calienta catastróficamente y se quema.

Estoy tratando de entender las fuerzas que actúan en el satélite que aseguran este resultado.

Satélite

Tomemos el caso en el que la fuerza de arrastre actúa solo brevemente. La intuición nos dice que la fuerza de arrastre F D reduce la velocidad tangencial v y la fuerza centrípeta F C (la fuerza gravitacional) luego 'tira' del satélite a una órbita más baja, es decir, de radio más pequeño r .

Pero hay una serpiente en la hierba: la velocidad tangencial v es dado por:

(1) v = GRAMO METRO r

Entonces, como es bien sabido, las órbitas más pequeñas se ejecutan a velocidades tangenciales más altas , ¡ no más bajas !

O considere otro escenario, en el que un propulsor en el satélite ejerce brevemente una fuerza paralela y en la misma dirección que F C , "empujando" así al satélite hacia el interior. De acuerdo con ( 1 ) esperaríamos v aumentar Pero, ¿dónde está la fuerza que provoca esta aceleración tangencial?

¿Se puede deducir algo de la conservación de la energía? Llamar T la energía total del sistema, tu su energía potencial y k su energía cinética:

T = tu + k

Para una órbita circular estable:

T = − GRAMO METRO metro r + 1 2 GRAMO METRO metro r = − 1 2 GRAMO METRO metro r

Supongamos que hacemos una cantidad de trabajo W en el sistema inicial T 0 :

T 0 + W = T 1

− 1 2 GRAMO METRO metro r 0 + W = − 1 2 GRAMO METRO metro r 1

W = 1 2 GRAMO METRO metro r 0 − 1 2 GRAMO METRO metro r 1

W = GRAMO METRO metro 2 ( 1 r 0 − 1 r 1 )

r 0 > r 1 ⇒ W < 0

Lo cual encaja porque en el caso de la fuerza de arrastre:

d W = F D . d s = F D d s porque ⁡ π = − F d d s

Pero no aclara mucho.

Creo que debido a la fricción la órbita se vuelve elíptica:

Órbita elíptica

De esta manera la fuerza de atracción GRAMO METRO metro r 2 se puede descomponer en un componente normal y un componente tangencial.

Pero no está claro cuál es la dinámica (fuerzas) que hace que la órbita pase de una órbita circular más alta a una elíptica más baja.

Esperando ansiosamente las percepciones. Todavía pensando en esto!
Debido a que la órbita está girando en espiral hacia adentro, la velocidad no es perpendicular al radio vector (la órbita no es un círculo exacto), por lo tanto, hay un componente de gravedad distinto de cero, aunque pequeño, que es paralelo a la velocidad y proporciona la aceleración tangencial. .

Respuestas (3)

Esto responde solo a la parte del 'impulso breve' de la pregunta. Si comienza con una órbita circular, entonces tenemos una expresión para la magnitud de la velocidad orbital:

v C = GRAMO METRO r

Si luego aplica un breve impulso al satélite de tal manera que la magnitud de su velocidad sea v ≠ v C sin alterar su dirección, entonces entra en una órbita tal que su velocidad en ese radio sería:

  • no tienen componente radial;
  • ser igual en magnitud a v .

Siempre existe tal órbita, pero nunca es circular. En el caso de que v ≤ v C entonces la órbita será una especie de elipse con su apogeo en el punto donde se aplicó el impulso. Podemos averiguar qué es la elipse usando la expresión de la velocidad orbital de una órbita elíptica:

v = GRAMO METRO ( 2 r − 1 a )

Dónde r es el radio actual y a es el semieje mayor. Tenga en cuenta que esto se reduce a la expresión de una órbita circular cuando r = a por supuesto. Reorganizando esto obtenemos

a = ( 2 r − v 2 GRAMO METRO ) − 1

esto nos dice a , y esto significa que conocemos tanto la distancia del apogeo ( r ) y la distancia del perigeo ( 2 a − r ) que es suficiente para caracterizar la órbita.

De manera más general, si aplica un impulso tal que la velocidad también cambie de dirección, terminará en la órbita que tendría esa velocidad en ese radio (o, más quisquilloso, en esa posición). Nuevamente, siempre existe tal órbita, pero resolverla es más difícil.

¡Gracias! Pero no entiendo este bit: "entonces entra en una órbita tal que su velocidad en ese radio no tendría componente radial" . Tal como yo lo veo, ¿ninguna órbita estable tiene un componente radial?
Gert! Acabo de recordar una buena descripción de este proceso en un libro de J. Craig Venter sobre novas, supernovas y dinámica de discos de acreción, creo que se llamaba "cataclismos cósmicos" o algo así, ¿lo tienes?
@Gert Las órbitas elípticas (e hiperbólicas y parabólicas) tienen componentes radiales a la velocidad, excepto en el apogeo y el perigeo. Por eso sabes que debe estar en apogeo justo después del impulso (o en perigeo si ha sido potenciado).
Veo. Gracias. Aprobado.
@niels ¿Tienes un libro así? Parece que J. Craig Venter nunca escribió un libro así. Al menos no se menciona en su página wiki.
¡AH! Me equivoqué de nombre. Venter era bioquímico. Déjame responderte sobre esto. Niels.
¡Es J. Craig WHEELER! ¡mi error! -NN

Debido a que la gravedad es una fuerza y, por lo tanto, puede cambiar la energía, generalmente no es útil pensar directamente en la velocidad orbital. La velocidad se comporta de manera diferente en órbita que en la superficie de la tierra. Su intuición puede ser engañosa.

Sí, una órbita más baja tiene una velocidad mayor. ¡ Pero tiene una energía más pequeña ! Por lo tanto, la fricción, que reduce la energía, coloca un objeto en una órbita más baja.

Considere un impulso instantáneo de fricción. Disminuye la velocidad en ese punto de la órbita. Ahora es demasiado bajo para una órbita circular, por lo que comienza a "caer" a una altura más baja a medida que gira alrededor de la órbita. Pero eso permite que la gravedad (ahora actuando parcialmente a lo largo del vector de velocidad) acelere el objeto. En su altitud más baja, ahora va demasiado rápido y comienza a elevarse, llegando finalmente al punto original: la órbita ahora es una elipse en lugar de un círculo puro.

Tenga en cuenta que la velocidad aumentó, la altura promedio disminuyó y, después de la pérdida de energía por fricción, la energía total se mantuvo constante.

Pero no está claro cuál es la dinámica (fuerzas) que hace que la órbita pase de una órbita circular más alta a una elíptica más baja.

Al principio, cuando la velocidad es consistente con la órbita circular y de repente introducimos una fuerza de fricción, esta nueva fuerza es la única fuerza que realiza trabajo en el satélite. Este trabajo que se realiza es negativo y esto reduce la velocidad por debajo de la necesaria para la órbita circular, por lo tanto, el satélite se irá acercando al centro (debido a la atracción de la fuerza de gravedad).

Pero, ¿dónde está la fuerza que provoca esta aceleración tangencial?

A medida que el satélite se mueve hacia el centro, la fuerza de gravedad realiza un trabajo positivo sobre él, por lo que aumenta su energía cinética (y su velocidad).

Después de que la distancia disminuye desde la órbita circular inicial, la fuerza neta siempre tiene una componente distinta de cero en la misma dirección que la velocidad. Esta componente se debe a la fuerza de gravedad, la fuerza de fricción la cancela solo parcialmente.

Cinemática y dinámica de un satélite que se estrella
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v