Dada una ecuación de una órbita elíptica, ¿es posible encontrar la velocidad del satélite en un punto determinado?

mi ecuacion es

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{x^2}{b^2} = 0$$

Esa no es la ecuación que quieres para un satélite. Esa ecuación describe una elipse con su centro en el origen. Quieres una elipse con el origen en uno de los focos:

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta}$$ dónde

• $r$es la distancia desde el origen hasta un punto de la elipse.
• $a$es la longitud del semieje mayor, la mitad de la longitud del eje mayor de la elipse.
• $e$es la excentricidad de la elipse.
• $\theta$es el ángulo subtendido entre los segmentos de línea que se extienden desde el origen hasta el punto del periapsis (aproximación más cercana) y desde el origen hasta el satélite.

Si bien lo anterior describe el camino, aún no describe la velocidad. Con un poco de trabajo (no se muestra), diferenciando$\vec r = r\hat r$con respecto al tiempo rendimientos

$$\vec v \equiv \frac{d\vec r}{dt} = r\dot\theta\left(\frac {e\sin\theta}{1+e\cos\theta} \hat r + \hat \theta\right)$$ Hay dos problemas con lo anterior. uno es ese $\dot\theta$no es constante La otra es que no dice nada sobre $\dot\theta$. Necesitas algo de física simple para eso. Lo que necesita es la ley de gravitación de Newton, la conservación de la energía y la conservación del momento angular. El resultado es, sin derivación, la ecuación vis-viva : $$v^2 = G(m_1+m_2)\left(\frac 2 r - \frac 1 a\right)$$ dónde

• $v$es la magnitud del vector velocidad de un cuerpo con respecto al otro,
• $G$es la constante gravitatoria newtoniana,
• $m_1$y$m_2$son las masas de los dos cuerpos,
• $r$es la distancia entre los centros de los dos cuerpos, y
• $a$es la longitud del semieje mayor de la órbita de un cuerpo alrededor del otro.