¿Degeneración de los niveles de energía de una partícula en un potencial de paso esférico en 3D?

La parte radial de la ecuación de Schrödinger (después de la separación de la parte angular) tiene la forma

$$-\frac{\hbar ^{2}}{2m}\frac{d^{2}}{dr^{2}}\chi (r)+\frac{\hbar ^{2}}{2m}% \frac{\ell\left(\ell+1\right) }{r^{2}}\chi (r)=\left( E-V_{o}\right) \chi (r)\, ,\qquad \chi(r)=rR(r)$$ dónde $\Psi(r,\theta,\varphi)=R(r)Y(\theta,\varphi)$. Asumiendo $E-V_o>0$, se puede demostrar (después de algunas manipulaciones complicadas) que, para un momento angular fijo $\ell$,
$$R_\ell(\rho)=\rho^\ell\,\xi_\ell(\rho)$$ dónde $\rho=kr$y $\xi_\ell(\rho)$es una función de Bessel esférica. Esto se encargará de la región clásica. En la región clásicamente prohibida, se deben utilizar funciones de Hankel de primer y segundo tipo que transformarán las funciones de Bessel esféricas oscilatorias en exponenciales (decrecientes).

Entonces es un problema de emparejamiento similar al pozo finito en 1d, excepto que las soluciones son en términos de Bessels y Hankels esféricos en lugar de seno y exponenciales. Por lo tanto, encontrar las energías posibles implica resolver ecuaciones trascendentales no triviales que involucran a Bessels, Hankels y sus derivadas.

Ya sea que el pozo tenga una profundidad finita o una profundidad infinita, las energías posibles dependen de$\ell$, tan diferente$\ell$'s producir diferentes$E_{n,\ell}$. Aquí,$n$numera las soluciones y también se puede conectar al número de nodos de la función de onda (para fijos$\ell$). Por lo tanto, no hay degeneraciones "accidentales". Puede encontrar detalles adicionales en esta página web.

Sin embargo, la parte radial de la ecuación de Schrödinger no depende del número cuántico azimutal.$m$, así que todo$m$valores permitidos para un determinado$\ell$son degenerados. Si lanzas un giro, duplicas cada uno de estos, por lo que un valor particular de$E_{n,\ell}$es$2(2\ell+1)$tiempos degenerados.

Tenga en cuenta que el pozo esférico finito rara vez se usa debido a la naturaleza no trivial de la ecuación trascendental. El pozo esférico infinito (solo involucra Bessels esféricos y sus ceros, que están tabulados) se usa ocasionalmente para comprender los niveles nucleares de baja energía, ya que el potencial nuclear es aproximadamente plano y luego se dispara rápidamente hacia arriba.