¿Qué velocidad adicional se debe impartir a un satélite en órbita para que abandone la atracción gravitacional de la Tierra?

Considere este problema de mi libro de ejercicios de física:

Una nave espacial se lanza en una órbita circular cerca de la superficie terrestre. ¿Qué velocidad adicional debe impartirse ahora a la nave espacial para vencer la atracción gravitacional de la Tierra?

Intentar:

Traté de usar el concepto de energía de enlace de sistemas cerrados. Así es como mi libro de texto lo presenta:

La energía mecánica total (potencial + cinética) de un sistema cerrado es negativa. El módulo de esta energía mecánica total es la energía de enlace del sistema... Es debido a esta energía que una partícula permanece unida dentro de un sistema. Si se le da al menos esta cantidad de energía a una partícula en cualquier forma, la partícula ya no permanece unida dentro del sistema.

Sé que la energía mecánica total de un satélite que orbita cerca de la superficie terrestre es$\frac{GMm}{2R}$, dónde$M$y$R$son la masa y el radio de la tierra respectivamente. Dado que se debe proporcionar al satélite un mínimo de esta cantidad de energía cinética,

Sin embargo, según la clave, la respuesta correcta es$(\sqrt{2}-1)\sqrt{gR}$. La solución es breve y no puedo probarla utilizando consideraciones energéticas:

La velocidad de un satélite en una órbita circular cerca de la superficie terrestre es$v_o = \sqrt{gR}$y la velocidad de escape viene dada por$v_e=\sqrt{2gR}$. Por lo tanto, la velocidad adicional para escapar es$v_e-v_o=(\sqrt{2}-1)\sqrt{gR}$.

¿Podría alguien explicarme por qué mi respuesta es incorrecta y ayudarme a demostrar por qué la solución anterior es verdadera?