Evolución energética y temporal de una partícula en un pozo de potencial

Question

Evolución energética y temporal de una partícula en un pozo de potencial

charlie

Tengo una partícula en un pozo cuadrado infinito (la caja es de 0 a $a$ ), en el estado descrito por la función

ψ (X) = {\begin{cases} A X (a - X) & F o r 0 < X < a, \\ 0 & de lo contrario . \end{cases}

$\psi (x) = \begin{cases} Ax(a-x) & \mathrm{for }\;\;\;\;0<x<a,\qquad \\ 0 \qquad &\text{otherwise}. \end{cases}$

Tengo que determinar el valor más probable de la energía y la probabilidad de obtener un valor de $E = \frac{9\hbar^2 {\pi}^2}{2ma^2}$ .

Para resolver la segunda pregunta pensé que $E$ iss la solución clásica para la energía en un pozo potencial con $n=3$ . Entonces puedo calcular $\langle3| \psi\rangle$ $-$ en el cual $3$ es la función de onda solución con $n=3$ $-$ ¿y eso es todo? ¿Bien?

Pero ¿qué pasa con la primera pregunta? tengo que calcular $\langle H \rangle$ y compararlo con una solución del pozo de potencial?

También tengo que determinar la evolución de la función de onda para $t>0$ cuando en $t=0$ apagamos bien el potencial, alguna pista?

Ali

Este es un ejemplo de una pregunta de "buena tarea".

Respuestas (1)

Evolución energética y temporal de una partícula en un pozo de potencial

Ángulo de Eric · Answer 1

Primero normalice el estado para encontrar $A$ .

Luego, debe expresar el estado como una superposición de los estados estacionarios del pozo cuadrado infinito:

ψ (X) = A X (a - X) = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} ψ_{norte} (X),

$\psi\left(x\right) = A x \left(a-x\right) = \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right),$ dónde

ψ_{n} (x) = \sqrt{2 / a} \sin (n π x / a)

$\psi_n\left(x\right) = \sqrt{2/a} \sin\left(n \pi x / a\right)$ es el

n

$n$ -ésimo estado estacionario. Puedes hacer esto usando la ortogonalidad de los estados estacionarios,

\int_{0}^{a} d X ψ_{metro}^{*} (X) ψ_{norte} (X) = \frac{2}{a} \int_{0}^{a} d X pecado (\frac{metro π X}{a}) pecado (\frac{norte π X}{a}) = d_{metro norte},

$\int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \psi_n\left(x\right) = \frac{2}{a} \int_0^a dx \ \sin\left(\frac{m \pi x}{ a}\right) \sin\left(\frac{n \pi x}{ a}\right) = \delta_{mn},$ integrando la ecuación anterior:

\begin{aligned} \int_{0}^{a} d X ψ_{metro}^{*} (X) [A X (a - X)] & = \int_{0}^{a} d X ψ_{metro}^{*} (X) [\sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} ψ_{norte} (X)] \\ = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} [\int_{0}^{a} d X ψ_{metro}^{*} (X) ψ_{norte} (X)] \\ = \sum_{norte = 1}^{\infty} C_{norte} d_{metro norte} \\ = C_{metro} \end{aligned}

$\begin{align} \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \left[A x \left(a-x\right)\right] &= \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right) \left[ \sum_{n=1}^\infty c_n \psi_n\left(x\right) \right] \\ &= \sum_{n=1}^\infty c_n \left[ \int_0^a dx \ \psi^*_m\left(x\right)\psi_n\left(x\right) \right]\\ &= \sum_{n=1}^\infty c_n \delta_{m n} \\ &= c_m \end{align}$ dejaré el

c_{n} = A \sqrt{2 / a} \int_{0}^{a} d x \sin (n π x / a) x (a - x)

$c_n = A \sqrt{2/a} \int_0^a dx \ \sin\left(n \pi x / a\right) x \left(a-x\right)$ integral para que te ejercites.

Una vez que tengas la $c_n$ 's, el valor más probable de una medida de la energía es la energía correspondiente al estado estacionario con máximo $c_n$ .

Para encontrar la probabilidad de medir $9 \hbar^2 \pi^2 / 2 m a^2$ para la energía, determine el estado estacionario al que corresponde esta energía y calcule $\left|c_n\right|^2$ .

Para la evolución temporal, dado que el potencial es $0$ en todas partes después $t=0$ , es una partícula libre, y la solución general es:

Ψ (X, t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} d k ϕ (k) Exp [i (k X + \frac{ℏ k^{2}}{2 metro} t)],

$\Psi\left(x,t\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^\infty dk \ \phi\left(k\right) \exp\left[i\left(k x + \frac{\hbar k^2}{2 m} t\right)\right],$ dónde

ϕ (k) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{a} d X Ψ (X, 0) Exp (- i k X) = \frac{A}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{a} d X X (a - X) Exp (- i k X) .

$\phi\left(k\right) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^a dx \ \Psi\left(x,0\right) \exp\left(-i k x\right) = \frac{A}{\sqrt{2 \pi}} \int_0^a dx \ x\left(a-x\right) \exp\left(-i k x\right) .$ Entonces, ahora solo tienes que hacer esta integral.

Verdaderamente esclarecedor. Así que tengo que encontrar los coeficientes $b_n$ de la serie de Fourier. Pero debo integrar de $-\pi$ a $\pi$ también en este caso? Y $f(x)sin(nx)$ o $f(x)sin(\frac{\pi n}{a}x)$ ?
Lo siento, pero no entendí cómo encontrar el $c_n$ a partir de ese. Pensé que, desde $\psi_n$ es un $sin$ función, todo lo que tengo que hacer es encontrar los coeficientes $b_n$ para expandir el $f(x)$ con Fourier.
Simplemente no entiendo. ¿Para qué necesito la propiedad de ortogonalidad?
Hice algunas ediciones más. La condición de ortogonalidad le permite escoger un único $c_n$ de la suma infinita.
¡Bien! Estaba tontamente atascado en eso. Creo que me mostraste la solución matemáticamente correcta de lo que quería hacer.
Actualicé mi respuesta de nuevo. Déjame saber si eso no tiene sentido.
Estoy totalmente de acuerdo con la solución de $\psi(x,t)$ si existe el potencial bien. Pero si lo apagamos, las soluciones de la ecuación de Schroedinger son ondas planas y ni siquiera son estados físicos.
Gotcha, por lo que es una partícula libre después $t=0$ . Actualicé mi publicación para reflejar esto.

Evolución energética y temporal de una partícula en un pozo de potencial

charlie

Ali

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Ángulo de Eric

dmckee --- gatito ex-moderador

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charlie

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charlie

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