Velocidad del satélite para estrellarse contra la tierra

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Velocidad del satélite para estrellarse contra la tierra

ABBC

Estuve leyendo esta publicación hoy y quedé muy impresionado por la respuesta que se dio. Sin embargo, ¿qué tendría que pasar con la velocidad para chocar con la Tierra?

Velocidad de los satélites mayor que la velocidad requerida

Estaba pensando en establecer una ecuación de la siguiente manera. Si la órbita cambia de una órbita circular a cierta altura $h$ con velocidad $v$ , entonces ocurrirá una órbita elíptica si la velocidad disminuye a $\lambda v$ , para algunos $\lambda \in (0,1)$ .

De la publicación realizada anteriormente, sabemos que la velocidad original está dada por

v_{0}^{2} = \frac{GRAMO METRO}{R_{mi} + h}

$v_0^2 = \frac{GM}{R_E+h}$ y la nueva velocidad viene dada por

λ^{2} v_{norte}^{2} = λ^{2} (GRAMO METRO (\frac{2}{R_{mi} + h} - \frac{1}{a})) .

$\lambda^2 v_n^2 = \lambda^2 \Bigg ( GM \Bigg ( \frac{2}{R_E+h} - \frac{1}{a} \Bigg ) \Bigg ).$ Por lo tanto, resolviendo

λ^{2} v_{norte}^{2} \leq \frac{GRAMO METRO}{R_{mi}} .

$\lambda^2 v_n^2 \leq \frac{GM}{R_E}.$ Debería producir una restricción viable sobre

λ^{2}

$\lambda^2$ .

Pero esto no me da lo que quiero. Un satélite debería estrellarse contra la tierra si atraviesa la atmósfera, es decir, cuando $h < R_E + R_A$ , dónde $R_A$ es la altura atmosférica.

como determino esto $R_A$ de la teoría general?

Soy consciente de que la velocidad de escape está dada por $V_E = \sqrt{\frac{GM}{R_E+h}}$ .

Emilio Pisanty

No puedes determinar el grosor de la atmósfera a partir de la teoría, tienes que ir y mirar. También es un límite borroso: algunas órbitas simplemente chocan, pero si solo rozas el borde de la atmósfera, volverás a salir, pero tu órbita decaerá lentamente y finalmente chocará, aunque puede llevar muchos meses.

Respuestas (1)

Velocidad del satélite para estrellarse contra la tierra

No puedes determinar el grosor de la atmósfera a partir de la teoría, tienes que ir y mirar. También es un límite borroso: algunas órbitas simplemente chocan, pero si solo rozas el borde de la atmósfera, volverás a salir, pero tu órbita decaerá lentamente y finalmente chocará, aunque puede llevar muchos meses.

Juan Rennie · Answer 1

Todo lo que necesitas hacer es calcular la distancia del perigeo $r_p$ esa es la distancia de máxima aproximación. Entonces sí $r_p < R_A$ su satélite se estrellará y se quemará.

Una vez más partimos de la ecuación vis-viva:

\begin{matrix} (1) & v^{2} = GRAMO METRO (\frac{2}{r} - \frac{1}{a}) \end{matrix}

$v^2 = GM\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a} \right) \tag{1}$

El parámetro $a$ es el semieje mayor de la elipse, y está relacionado con los radios del perigeo y el apogeo como se muestra a continuación:

Entonces tenemos:

2 a = r_{pag} + r_{a}

$2a = r_p + r_a$

lo que convierte la ecuación vis-viva (1) en:

v^{2} = 2 GRAMO METRO (\frac{1}{r} - \frac{1}{r_{pag} + r_{a}})

$v^2 = 2GM\left(\frac{1}{r} - \frac{1}{r_p + r_a} \right)$

en el apogeo $r = r_a$ y $v = v_a$ y poniéndolos en nuestra nueva ecuación da:

v_{a}^{2} = 2 GRAMO METRO (\frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{pag} + r_{a}})

$v_a^2 = 2GM\left(\frac{1}{r_a} - \frac{1}{r_p + r_a} \right)$

Y solo necesitamos reorganizar esto para obtener la ecuación de la distancia del perigeo:

\begin{matrix} (2) & r_{pag} = \frac{r_{a}}{\frac{2 GRAMO METRO}{v_{a}^{2} r_{a}} - 1} \end{matrix}

$r_p = \frac{r_a}{\frac{2GM}{v_a^{\,2}r_a} - 1} \tag{2}$

Ahora echemos un vistazo a su pregunta específica. Llamaremos al radio de impacto $R$ , dónde $R$ sería al menos el radio de la Tierra pero un poco más grande para tener en cuenta la atmósfera. Entonces estamos buscando la órbita con la distancia del perigeo $r_p=R$ . El satélite comienza en una órbita circular en un radio $r_0$ entonces la velocidad orbital es :

v_{0} = \sqrt{\frac{GRAMO METRO}{r}}

$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$

Y nos preguntamos qué pasa si reducimos la velocidad a $\lambda v_0$ . Todo lo que tenemos que hacer es tomar la ecuación (2) y sustituirla por la nueva velocidad $v=\lambda v_0$ , el radio del apogeo $r_a=r_0$ y establezca el radio del perigeo en el radio de colisión $r_p=R$ y obtenemos:

R = \frac{r_{0}}{\frac{2 GRAMO METRO}{λ v_{0}^{2} r_{0}} - 1}

$R = \frac{r_0}{\frac{2GM}{\lambda v_0^{\,2}r_0} - 1}$

Y al sustituir $v_0=\sqrt{GM/r_0}$ esto se simplifica a:

R = \frac{r_{0}}{\frac{2}{λ} - 1}

$R = \frac{r_0}{\frac{2}{\lambda} - 1}$

Y reorganizando para $\lambda$ da:

\begin{matrix} (3) & λ = \frac{2 R}{R + r_{0}} \end{matrix}

$\lambda = \frac{2R}{R+r_0} \tag{3}$

Entonces, dado su radio orbital circular inicial $r_0$ la ecuación (3) te dice el valor de $\lambda$ necesitas hacer que tu satélite se estrelle y se queme.

Gracias por la respuesta detallada, sin embargo, no creo que esto responda completamente a mi pregunta. Estoy más preocupado por la condición de la velocidad. Entonces, asumiendo que comenzamos con una órbita circular a una altura $R_E+h$ y una velocidad $v$ . Una disminución en la velocidad de $v$ a $\lambda v$ inducirá una órbita elíptica. Asumiendo $r_p = R_E + h$ y $r_a = R_E$ , ¿qué velocidades compararíamos para ver cuánto tiene que cambiar la velocidad para que el satélite "choque y se queme"?
@Jordan: he extendido mi respuesta para que el cálculo sea más claro
Gracias, sin embargo, mirando a través de su cálculo, ¿está seguro de que no es eso? $λ = \frac{2 R_{mi}}{2 R_{mi} + r_{0}} ?$ $\lambda = \frac{2R_E}{2R_{E}+r_0}?$
@Jordán: $R$ es el radio por debajo del cual el satélite está condenado a estrellarse y arder. Si ignoras la atmósfera entonces $R=R_E$ , pero en la práctica $R$ es un poco mayor que $R_E$ porque necesitas incluir la altura de la atmósfera. No existe una forma sencilla de calcular exactamente cuál es el valor de $R$ se debe a que el arrastre atmosférico depende del tamaño y la forma del satélite y su velocidad de una manera no trivial.
@Jordan: ¿de dónde sacaste ese segundo factor de $2$ ¿de? Obviamente está mal porque si configuras $R=r_0$ la ecuación debe dar $\lambda=1$ . Tu ecuación daría $\lambda=2/3$ .
Perdóname, sí, tienes razón. Estaba pensando en cómo podríamos usar esto para determinar la velocidad del impacto. Espero que la velocidad de impacto sea dada por $v_{C}^{2} = \frac{GRAMO {METRO}_{mi} (2 h + R_{mi} λ^{2})}{(R_{mi} + h) R_{mi}} .$ $v_c^2 = \frac{GM_E(2h+R_E\lambda^2)}{(R_E+h)R_E}.$ Sin embargo, he fallado en muchos de los cálculos, ¿cómo usarías los cálculos anteriores para determinar la velocidad del impacto?
@Jordan: la velocidad viene dada por la ecuación vis-viva con la que comenzamos. Alternativamente, simplemente use la conservación de la energía, es decir, el aumento de la energía cinética es igual a la disminución de la energía potencial.
La velocidad del satélite cuando golpea la Tierra no debería ser la velocidad dada por la ecuación vis-viva, ¿o sí?
@Jordan: sí, ¿por qué no? La ecuación vis-viva se deriva básicamente de la conservación de la energía.
Entonces seguramente $r_a$ y $r_p$ cambio para calcular esto?
@Jordan: Si desea continuar con esto, debemos continuar en la sala de chat.

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