Calcular los cambios orbitales después de la aceleración

Básicamente, lo que está preguntando es cómo convertir las condiciones iniciales, la posición y la velocidad, en elementos orbitales . En este caso tanto la posición como la velocidad son vectores 2D, con un marco de referencia posicionado en el centro del cuerpo celeste, con parámetro gravitacional$\mu$, y los elementos orbitales: "longitud del nodo ascendente" e "inclinación" no tienen que definirse, ya que el plano orbital es igual al plano 2D, la única información que tienes que almacenar es si gira en el sentido de las agujas del reloj o sinistrorso. Así que para una dirección de referencia dada$\Upsilon$, Necesitas saber:

• Semieje mayor$a$
• Excentricidad$e$
• Argumento del periapsis$\omega$(ahora definido como el ángulo entre$\Upsilon$y el vector de posición en el periapsis)
• verdadera anomalía$\nu$at epoch (un momento de referencia en el tiempo)
• Dirección$\lambda$(-1 para sentido horario y 1 para sentido antihorario)

Para tu pregunta voy a definir$\Upsilon$como el vector de posición en el periapsis de la órbita inicial (por lo tanto$\omega=0$) y la época como el momento en que$\Delta v$Está aplicado. La posición y la velocidad en coordenadas polares se pueden encontrar a partir de los elementos orbitales usando las siguientes ecuaciones,

$$r = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\nu},$$

$$\theta = \lambda \nu + \omega,$$

$$v_{r} = \sqrt{\frac{\mu}{a(1-e^2)}}e\sin\nu,$$

$$v_{\theta} = \lambda\sqrt{\frac{\mu}{a(1-e^2)}}(1+e\cos\nu).$$

En su caso, tendría que agregar algunos valores a los componentes de velocidad para encontrar la posición y la velocidad después de aplicar el$\Delta v$.

Ahora desea volver a convertir estos valores en elementos orbitales. El eje semi-mayor se puede encontrar usando energía orbital específica ,

$$a = \frac{\mu r}{2\mu - (v_r^2 + v_\theta^2)r}.$$

La excentricidad se puede encontrar utilizando el momento angular relativo específico ,$h=|v_\theta| r=\sqrt{\mu a(1-e^2)}$,

$$e = \sqrt{1 - \frac{v_\theta^2 r^2}{\mu a}} = \sqrt{1 + \frac{v_\theta^2 r}{\mu} \left(\frac{(v_r^2 + v_\theta^2)r}{\mu} - 2\right)}.$$

Para la anomalía verdadera puede hacer uso de la ecuación para$r$y los nuevos valores de$a$y$e$,

$$\cos\nu = \frac{a(1-e^2)-r}{er},$$

podría tomar el arco-coseno de este valor para obtener$\nu$, sin embargo, esto solo puede tener un valor entre$0$y$\pi$. Para cubrir la otra mitad de la órbita, puede hacer un uso inteligente del hecho de que su velocidad radial solo puede ser negativa después del paso de apoapsis, por lo tanto, si limita el dominio de$\nu$a$-\pi\geq\nu\geq\pi$entonces se puede escribir como,

$$\nu = \frac{|v_r|}{v_r}\cos^{-1}\left(\frac{a(1-e^2)-r}{er}\right).$$

La dirección de la órbita se puede encontrar con,

$$\lambda = \frac{|v_\theta|}{v_\theta}.$$

Y por último, el argumento de periapsis se puede encontrar con,

$$\omega = \theta - \lambda \nu.$$