¿Cómo podemos saber el potencial de la órbita?

Lo que estás buscando es la ecuación de Binet . En lugar de usar$r(\theta)$es mejor definir$u(\theta)=1/r(\theta)$, de modo que la órbita lea

$$u(\theta)=\frac{1}{a(1+\cos\theta)}$$

Con esto, la fuerza central viene dada por

$$\begin{aligned} F&=-k u^2(u''+u)\\ &=\frac{-k}{a^3(1+\cos\theta)^2}\left(\frac{1}{(1+\cos\theta)}+\frac{\cos\theta}{(1 + \cos\theta)^2} +\frac{2\sin^2\theta}{(1 + \cos\theta)^3}\right)\\ &=\frac{-3k}{a^3(1+\cos\theta)^4}\\&=-3ak u^4 \end{aligned}$$

Esto significa que la fuerza es cinco por

$$F(r)=\frac{-3ak}{r^4}$$

Finalmente, la energía potencial está dada por

$$\frac{\partial V}{\partial r}=-F(r)$$ es decir, $$V(r)=-\frac{a k}{r^3}+V(\infty)$$