Un problema en una integración relacionada con la rotación de Wick

En la teoría cuántica de campos, a menudo calculamos algunas integraciones usando la rotación de Wick. A continuación, trataré con cuidado una integración que involucre la rotación de Wick. Al final, me di cuenta de que estaba confundido.

la integracion es

$$\begin{eqnarray*} & & \int\frac{d^{4}k}{(2\pi)^{4}}\frac{1}{k^{2}+i\epsilon}e^{-ik\cdot x}\\ & = & \frac{1}{(2\pi)^{4}}\int d^{3}ke^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\int_{-\infty}^{\infty}dk_{0}\frac{1}{k_{0}^{2}-(E_{k}-i\epsilon)^{2}}e^{-ik_{0}t}\\ & \equiv & \frac{1}{(2\pi)^{4}}\int d^{3}ke^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{x}}\times\mathrm{I} \end{eqnarray*}$$

con

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{I} & = & \int_{-\infty}^{\infty}dk_{0}\frac{1}{k_{0}^{2}-a^{2}}e^{-ik_{0}t}\\ a & = & E_{k}-i\epsilon=\sqrt{m^{2}+\mathbf{k}^{2}}-i\epsilon \end{eqnarray*}$$

Ahora usaremos la rotación de Wick para calcular$\mathrm{I}$. Tenga en cuenta que$\pm a$son dos singularidades del integrando. Considere seguir el contorno. Los radios de coutours$l_{5},l_{6}$son ambos$R$y$R\rightarrow\infty$.

De acuerdo con el teorema de la integral de contorno, podemos ver

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{I} & = & \int_{-\infty}^{\infty}dk_{0}\frac{1}{k_{0}^{2}-a^{2}}e^{-ik_{0}t}\\ & = & \int_{l_{1}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}e^{-izt}+\int_{l_{2}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}e^{-izt}\\ & = & \bigg(\int_{l_{5}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}e^{-izt}+\int_{l_{3}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}e^{-izt}\bigg)+\bigg(\int_{l_{4}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}e^{-izt}+\int_{l_{6}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}e^{-izt}\bigg)\\ & & \bigg[\text{note: set }z=ik_{E}^{0}\text{ in }l_{3},l_{4}\text{ and combine }l_{5},l_{6}\bigg]\\ & = & (-i)\int_{-\infty}^{\infty}dk_{E}^{0}\frac{1}{(k_{E}^{0})^{2}+a^{2}}e^{tk_{E}^{0}}+\int_{l_{6}}dz\frac{1}{z^{2}-a^{2}}(e^{-izt}+e^{izt}),\ \bigg[\text{set }z=Re^{i\phi}\text{ in }l_{6}\bigg]\\ & = & (-i)\int_{-\infty}^{\infty}dk_{E}^{0}\frac{1}{(k_{E}^{0})^{2}+a^{2}}e^{tk_{E}^{0}}\\ & & -iR\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi e^{i\phi}\frac{1}{R^{2}e^{2i\phi}-a^{2}}(e^{-itR\cos\phi+tR\sin\phi}+e^{itR\cos\phi-tR\sin\phi})\\ & \equiv & (-i)\int_{-\infty}^{\infty}dk_{E}^{0}\frac{1}{(k_{E}^{0})^{2}+a^{2}}e^{tk_{E}^{0}}+\mathrm{II} \end{eqnarray*}$$

con

$$\begin{eqnarray*} \mathrm{II} & = & -iR\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\phi e^{i\phi}\frac{1}{R^{2}e^{2i\phi}-a^{2}}(e^{-itR\cos\phi+tR\sin\phi}+e^{itR\cos\phi-tR\sin\phi}) \end{eqnarray*}$$

En realidad, no sé cómo probar$\mathrm{II}=0$como$R\to\infty$. Pero si$\mathrm{II}\neq0$como$R\to\infty$, entonces no podemos simplemente obtener

$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}dk_{0}\frac{1}{k_{0}^{2}-a^{2}}e^{-ik_{0}t} & = & (-i)\int_{-\infty}^{\infty}dk_{E}^{0}\frac{1}{(k_{E}^{0})^{2}+a^{2}}e^{tk_{E}^{0}} \end{eqnarray*}$$

Entonces, ¿quién puede probar$\mathrm{II}=0$o$\mathrm{II}\neq0$como$R\to\infty$?