Operador de cambio (cálculo integral que involucra polinomios de Hermite) [cerrado]

Una forma de hacerlo es por inducción, primero en$n$y luego en$l$. El caso base es fácil, ya que$H_0(x)$es constante, y la integral es una gaussiana simple; la integral para$n=1$y$l=0$también es fácil. Entonces arregla$l=1$y asumir la fórmula para arbitraria$n$. Entonces se puede probar la fórmula para$n+1$usando la relación de recurrencia para$H_{n+1}$,

$$H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_n(x),$$ cambiando el $2x$factor para una derivada con respecto a $k$, y aplicando una relación de recurrencia para el polinomio de Laguerre en el lado derecho. Eso probará el caso general bajo $l=1$. Luego, utilizando un procedimiento de inducción similar para $1\leq l\leq n$demostrará la declaración completa.

Sé que es feo, pero debería funcionar.

La otra posibilidad es hacer lo que hace todo el mundo: reducirlo al elemento matriz.$\langle m|\hat{D}(\alpha)|n\rangle$y luego cite ciegamente* Cahill y Glauber (Expansiones ordenadas en operadores de amplitud de bosones. Phys. Rev. 177 no. 5 (1969), pp. 1857-1881, Apéndice B. ). Lo que hacen, si se puede confiar en mis notas de tesis, es comparar el elemento de matriz

$$\langle m|\hat{D}(\beta)|\alpha\rangle=\langle m|e^{\frac12 (\beta\alpha^\ast-\beta^\ast\alpha)}|\alpha+\beta\rangle=\frac{1}{\sqrt{m!}}(\beta+\alpha)^m e^{-\frac12|\beta|^2-\frac12|\alpha|^2-\beta^\ast\alpha}$$ a la función generadora de los polinomios de Laguerre, $$(1+y)^m e^{-xy}=\sum_{n=0}^\infty L_n^{(m-n)}(x) y^n$$ (que es válido para todos $y\in\mathbb{C}$; llevar $y=\beta/\alpha$hasta conjugados) y de ahí al original expandiendo el estado coherente $|\alpha\rangle$en una expansión de estado numérico, comparando coeficientes de $\alpha^n$.

(Tenga en cuenta también que tendrá que hacer una rotación a complejo$k$. Esto se debe a que su integral es de la forma$\langle m|e^{k\hat{x}}|n\rangle$y de verdad$k$el operador$e^{k\hat{x}}$no es unitario. Hacer eso también trae el resultado deseado a una forma mucho más agradable.$L_{m_<}^{|n-l|}(k^2/2)e^{-\frac14 k^2}$, que oscila por pequeñas$k$y luego decae. Cambiando$k$para$ik$es válida porque ambos lados de la igualdad objetivo son funciones enteras de$k\in\mathbb{C}$, y demostrar que son iguales en un eje es suficiente por continuación analítica .)

Si me preguntas, esto es igual de feo. Pero te diría que lo hagas de las dos maneras ya que aprenderás mucho de cada una. Si te rindes, la palabra clave mágica de Google es "estados numéricos desplazados".

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*Dato curioso: los artículos que necesitan este elemento de matriz también suelen citar el otro artículo de Cahill y Glauber (página 1883, misma revista, mismo volumen), que no se relaciona con él. ¡Cuidado con citar a ciegas!