Fuerza gravitatoria ejercida por una varilla sobre una masa puntual

No creo que realmente entiendas la integración. Déjame aclararte esto. En esa cuestión hay una varilla de longitud l. Sabe cómo calcular la fuerza gravitatoria entre dos masas puntuales pero no en cuerpos de masa continua.

Si aplicas la fórmula para encontrar la fuerza gravitacional, no sabes cómo tomar la distancia porque es un cuerpo continuo. Apliquemos la formula$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2}{r^2}$tomando r como la distancia entre los dos cuerpos. Obviamente obtenemos una respuesta incorrecta. Ahora consideremos que la barra está formada por dos cuerpos de masa cada uno$m_2/2$una longitud$l/2$. Ahora podemos definir la fuerza como$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2/2}{r^2} + \frac{Gm_1m_2/2}{(r+l/2)^2}$. De nuevo obtenemos una respuesta incorrecta. Ahora dividámoslo en$N$partes. Ahora la fuerza se puede representar como$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2/N}{r^2} + \frac{Gm_1m_2/N}{(r+l/N)^2} +\frac{Gm_1m_2/N}{(r+2l/N)^2}+...... \frac{Gm_1m_2/N}{(r+(N-1)l/N)^2}+\frac{Gm_1m_2/N}{(r+l)^2}$O$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2}{N}[\frac{1}{(r)^2} +\frac{1}{(r+l/N)^2} + \frac{1}{(r+2l/N)^2} + .....\frac{1}{(r+(N-1)l/N)^2}+\frac{1}{(r+l)^2}]$Ahora bien, si aumentamos el valor de$N$obtenemos una respuesta más precisa a medida que las divisiones se vuelven más pequeñas y más como masas puntuales. Ahora bien, si hacemos el valor de$N$muy, muy alto, entonces obtendríamos una respuesta precisa. Aquí es donde entra en juego la integración de anuncios de diferenciación.$\large \frac{m_2}{N}$representa$dm$y$\large \frac{l}{N}$representa$dx$. Ahora sabes por qué$dm\ =\large \frac{m_2dx}{l}$

Apliquemos ahora esto en la expresión anterior. Entonces ahora tenemos..$F\ =\ \large \frac{Gm_1m_2dx}{l}[\frac{1}{(r)^2} +\frac{1}{(r+dx)^2} + \frac{1}{(r+2dx)^2} + \frac{1}{(r+3dx)^2} + .....+\frac{1}{(r+l)^2}]$Esto es lo mismo que integrar$\ \large \frac{Gm_1m_2dx}{lx}$de$x=r$a$x=r+l$
$Note:$Cada dm de masa no está a la misma distancia de la masa puntual. podemos integrar$x$con respecto a$dx$como$dx$es un pequeño cambio en$x$. Sumas todos los valores y sumas$dx$a$x$en cada valor siguiente. Espero que esto ayude