Integración de e−itp2+m2√e−itp2+m2e^{-it\sqrt{\mathbf{p}^2 + m^2}} para amplitud QM

Primero ve a coordenadas esféricas:

$$A(t) = \frac{1}{2\pi^3}\int_0^{\infty}\text{d} p\int_0^{2\pi}\text{d} \phi \int_0^{\pi}\text{d}\theta\text{ } p^2 \sin\theta e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} e^{ip\cos\theta|r-r_0|},$$ y realizar la integral trivial sobre $\phi$. Posteriormente sustituir $y=\cos\theta$tal que $\text{d}y=\sin\theta\text{d}\theta$e integrar sobre $y$: $$\begin{align} A(t) &= \frac{1}{\pi^2}\int_0^{\infty}\text{d}p\text{ }p^2e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}\int_{-1}^1\text{d} y e^{ipy|r-r_0|} \nonumber \\ &=\frac{1}{\pi^2}\int_0^{\infty}\text{d}p\text{ }p^2e^{-it\sqrt{p^2+m^2}} \Big(\frac{1}{ip|r-r_0|} \Big)\Big(e^{ip|r-r_0|}-e^{-ip|r-r_0|}\Big) \nonumber \\ &=\frac{2}{\pi^2|r-r_0|}\int_0^{\infty}\text{d} p \text{ } p e^{-it\sqrt{p^2+m^2}}\sin(p|r-r_0|) \end{align}$$

EDITAR: Estoy bastante seguro de que mi factor de dos en el numerador es correcto. Tal vez su función inicial$A(t)$se define con el convencional$1/(2\pi)^3$, en lugar de$1/(2\pi^3)$?