Los polos mordieron en un propagador

Question

Los polos mordieron en un propagador

Anónimo

Hola, estoy tratando de derivar el propagador KG y estoy atascado en el bit donde se necesita la fórmula Integral de Cauchy, es decir, evaluando desde

\int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} {\frac{1}{2 {mi}_{pag}} {mi}^{- i pag . (X - y)} |_{{pag}^{o} = {mi}_{pag}} + \frac{1}{- 2 {mi}_{pag}} {mi}^{- i pag . (X - y)} |_{{pag}^{o} = - {mi}_{pag}}}

$\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}\left\lbrace\frac{1}{2E_{p}}e^{-ip.(x-y)}|_{p^{o}=E_{p}}+\frac{1}{-2E_{p}}e^{-ip.(x-y)}|_{p^{o}=-E_{p}}\right\rbrace$ a

\int \frac{d^{3} pag}{(2 π)^{3}} \int \frac{d {pag}^{0}}{i 2 π} \frac{- 1}{{PAG}^{2} - {metro}^{2}} {mi}^{- i pag . (X - y)}

$\int \frac{d^{3}p}{(2\pi)^3}\int \frac{dp^{0}}{i2\pi}\frac{-1}{P^{2}-m^{2}}e^{-ip.(x-y)}$

Entiendo que la fórmula $g(z_{0})=\frac{1}{2\pi i}\int \frac{g(z)}{z-z_{0}}dz$ debe usarse, pero simplemente no veo cómo se puede encontrar la solución,

usuario21299

Aconsejaría ir al revés primero. Si realiza el

d p^{0}

$dp^0$ integración, terminará con una integral tridimensional que coincide con la que comenzó. Así que básicamente tienes que 'revertir' una integración compleja que es un poco dolorosa la primera vez que la ves.

Dilatón

Esta pregunta es muy incompleta pero potencialmente interesante si se aclara. Entonces, ¿puedes elaborarlo un poco?

Dilatón

@ChrisWhite gracias por esta información, esta versión ahora se ve lo suficientemente buena y clara como para dejarla abierta.

Respuestas (1)

Los polos mordieron en un propagador

Aconsejaría ir al revés primero. Si realiza el $dp^0$ integración, terminará con una integral tridimensional que coincide con la que comenzó. Así que básicamente tienes que 'revertir' una integración compleja que es un poco dolorosa la primera vez que la ves.
Esta pregunta es muy incompleta pero potencialmente interesante si se aclara. Entonces, ¿puedes elaborarlo un poco?
@ChrisWhite gracias por esta información, esta versión ahora se ve lo suficientemente buena y clara como para dejarla abierta.

solitón · Answer 1

Para la prescripción de Feynman, los polos están ubicados en $p^0=\pm(E_p-i\epsilon)$ . Cuando $x^0>y^0$ , cerramos el contador debajo del polo positivo tal que $\Re(-ip^0(x^0-y^0))<0$ ; Cuando $x^0<y^0$ , cerramos el contador sobre el polo negativo tal que $\Re(-ip^0(x^0-y^0))<0$ . Según el lema de Jodan, sabemos que

\int_{| {pag}^{0} | = + \infty} \frac{d {pag}^{0}}{2 π i} \frac{- 1}{{PAG}^{2} - {metro}^{2}} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})} = 0

$\int_{|p^0|=+\infty}\frac{dp^0}{2\pi i}\,\frac{-1}{P^2-m^2}e^{-ip^0(x^0-y^0)}=0$

Darse cuenta de $(p^0)^2-E^2_p=(p^0-E_p)(p^0+E_p)$ y el contador que elegimos solo tiene un polo. Para $x^0>y^0$ , tenemos

z_{0} = {mi}_{pag}, gramo (z) = \frac{- 1}{{pag}^{0} + {mi}_{pag}} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})}

$z_0=E_p,\quad g(z)=\frac{-1}{p^0+E_p}e^{-ip^0(x^0-y^0)}$

y para $x^0<y^0$ , tenemos

z_{0} = - {mi}_{pag}, gramo (z) = \frac{- 1}{{pag}^{0} - {mi}_{pag}} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})}

$z_0=-E_p,\quad g(z)=\frac{-1}{p^0-E_p}e^{-ip^0(x^0-y^0)}$

Entonces, con el teorema del residuo

\frac{1}{2 π i} \int d {pag}^{0} \frac{gramo (z)}{z - z_{0}} = gramo (z_{0})

$\frac{1}{2\pi i}\int dp^0\,\frac{g(z)}{z-z_0}=g(z_0)$

eso lo podemos obtener

\frac{1}{2 π i} \int d {pag}^{0} \frac{- 1}{({pag}^{0})^{2} - {mi}_{pag}^{2} + i ϵ} {mi}^{- i {pag}^{0} (X^{0} - y^{0})} = \frac{1}{2 {mi}_{pag}} {mi}^{- i {mi}_{pag} (X^{0} - y^{0})} θ (X^{0} - y^{0}) + \frac{1}{- 2 {mi}_{pag}} {mi}^{i {mi}_{pag} (X^{0} - y^{0})} θ (y^{0} - X^{0})

$\frac{1}{2\pi i}\int dp^0\,\frac{-1}{(p^0)^2-E^2_p+i\epsilon}e^{-ip^0(x^0-y^0)}=\frac{1}{2E_p}e^{-iE_p(x^0-y^0)}\theta(x^0-y^0)+\frac{1}{-2E_p}e^{iE_p(x^0-y^0)}\theta(y^0-x^0)$

lo siento, todavía estoy un poco confundido, no veo cómo hiciste la última integral. Me doy cuenta de que p se puede dividir en $p^{0}$ y sus términos espaciales, pero todavía no puedo ver cómo hacer la última integral
Lo siento, me estoy confundiendo con las convenciones en primer lugar es $E_{p}^{2}=m^{2}+p^{2}_{i}$ , tampoco deberían las exponenciales tener un $p$ no un $E_{p}$ , Realmente no veo por qué hay un $p^{2}-m^{2}$ , lo siento por ser raro
$p^2=E^2_p-p^2_i=m^2$ es la condición en el caparazón. Por favor informa eso $e^{-ip_i(x_i-y_i)}$ aparece en la integral tridimensional $\int d^3\vec{p}$

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Anónimo

usuario21299

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