Propagador de partículas libres - Evaluación integral [cerrado]

En el formalismo de integral de trayectoria, al evaluar el propagador de partículas libres, obtenemos la integral funcional de la forma,

$$K_0 = \lim_{n\rightarrow\infty} \bigg( \frac{m}{2\pi i\tau}\bigg)^\frac{n}{2} \int \prod_{i=1}^{n-1}dx_i \; \exp\bigg(\frac{im\tau}{2}\sum_{j=0}^{n-1}(x_{j+1} - x_j)^2\bigg).$$

Para empezar, primero tengo que resolver para algunos finitos$n$caso y luego generalizar por inducción. Pero incluso para el caso finito, estoy confundido sobre cómo hacer la integral. Por ejemplo, con$n=2$caso, obtendré una integral de la forma,

$$I = \bigg( \frac{m}{2\pi i\tau}\bigg) \int dx_1e^{\frac{im\tau}{2} \bigg((x_{2} - x_1)^2+(x_{1} - x_0)^2\bigg)}.$$

¿Cómo se supone que debo resolver esta integral? Sé que solo implica un truco trivial de sustitución, pero estoy confundido sobre qué camino tomar.

EDITAR :

Después de un poco de evaluación de la integral, termino con una integral de la forma

$$\int_{0}^{\infty} e^{iax^2}\;dx$$ y haciendo una sustitución con el mismo $s= -iax^2$y $dx = \frac{ds}{\sqrt{-ias} }$, pero ¿cómo evaluar este tipo de integral (me refiero a qué tipo de contorno podemos elegir) $$\int_{0}^{i\infty} \frac{ds}{\sqrt{-ias}} e^{-s}$$

PD: Un diagrama del contorno será muy útil :)